איפה בדיוק ממוקם ערך בתוך הקבוצה?
80 נקודות - האם זה טוב? קיבלתם 80 במבחן. לבד, המספר לא אומר הרבה. אבל אם 80 גבוה מ-90% מהנבחנים, אתם בעשירון העליון - וזו תוצאה מצוינת. מדדי המיקום היחסי עונים בדיוק על השאלה "איפה אני עומד בתוך הקבוצה?". הם ממיינים את כל הנתונים וחותכים אותם לחלקים שווים, כך שכל ערך מקבל מיקום יחסי ברור. שימו לב רבעונים ועשירונים אינם נלמדים ואינם נבחנים בשאלון 35371 בתשפ״ז. הדף הזה כאן למי שלומד את הנושא במסגרת בית-ספרית או מתכונן למועד שבו הוא יחזור. מדד הפיזור שכן נבחן השנה הוא סטיית התקן.
האנטומיה של הרבעונים - נוסחת המיקום
כל חישוב רבעון או עשירון עובר בשלושה שלבים קבועים: ממיינים בסדר עולה, מחשבים את המיקום לפי הנוסחה, וקוראים את הערך שבמיקום הזה. אם המיקום יוצא מספר שלם - זה בדיוק האיבר שבמקום הזה. אם הוא לא שלם, לוקחים את ממוצע שני האיברים שמשני צדיו. הנה המפה המלאה על הקבוצה 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 15 (n = 8):
מה מרכיב את מדדי המיקום היחסי
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל שאלת מיקום. נסו לשנות את הקבוצה במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך המיקומים והערכים משתנים.
מיון - נקודת הפתיחה
כל מדד מיקום מתחיל ממיון הנתונים בסדר עולה, ומספירת מספר הנתונים n. בלי מיון אין משמעות ל"מקום". בקבוצה 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 15 הנתונים כבר ממוינים ו-n = 8.
נוסחת המיקום של הרבעון
הרבעון ה-i הוא האיבר במיקום i(n + 1)4. שימו לב: הנוסחה נותנת מיקום, לא ערך. ל-n = 8: Q1 במיקום 1 · 94 = 2.25, החציון במיקום 4.5, ו-Q3 במיקום 6.75.
כשהמיקום אינו שלם
אם המיקום הוא מספר לא-שלם s, ו-k הוא חלקו השלם, הערך הוא ממוצע האיברים במקומות k ו-k + 1. מיקום 2.25 נותן Q1 = 4 + 52 = 4.5 (האיברים 2 ו-3). כשהמיקום שלם פשוט קוראים את האיבר שבמקום הזה.
החציון הוא הרבעון השני
עבור i = 2 הנוסחה נותנת מיקום 2(n + 1)4 = n + 12 - בדיוק המיקום של החציון שלמדתם בכיתה י׳. כך שני החישובים מסתדרים זה עם זה: Q2 הוא החציון, ומתחתיו מחצית מהנתונים.
נוסחת המיקום של העשירון
אותו רעיון, חיתוך צפוף פי עשרה: העשירון ה-i הוא האיבר במיקום i(n + 1)10. ערך בעשירון העליון גבוה מ-90% מהקבוצה, וערך מתחת לעשירון התחתון נמוך מ-90% ממנה. גם כאן, מיקום שאינו שלם ⟸ ממוצע שני השכנים.
העשירונים אינם מרווחים שווים
טעות נפוצה: לחשוב שההפרש בין עשירונים עוקבים הוא עשירית מההפרש בין הנתון הגדול לקטן. זה לא נכון - העשירונים חותכים לפי מספר הנתונים, לא לפי הערכים. בקבוצה צפופה סביב המרכז העשירונים האמצעיים קרובים מאוד זה לזה, והקיצוניים רחוקים.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד. שימו לב לשיטה - היא חוזרת בכל שאלה: ממיינים, סופרים את n, מחשבים מיקום, וקוראים ערך.
- מיון וספירה: הנתונים כבר בסדר עולה, ו-n = 8, ולכן n + 1 = 9.
- הרבעון הראשון: מיקום 1 · 94 = 2.25 - לא שלם, ולכן k = 2 וממוצע האיברים 2 ו-3: Q1 = 4 + 52 = 4.5.
- החציון (הרבעון השני): מיקום 2 · 94 = 4.5, ולכן ממוצע האיברים 4 ו-5: Q2 = 7 + 82 = 7.5.
- הרבעון השלישי: מיקום 3 · 94 = 6.75, ולכן ממוצע האיברים 6 ו-7: Q3 = 10 + 122 = 11.
- Q1 = 4.5, החציון = 7.5, Q3 = 11.
- מיון וספירה: ממוין, n = 7, ולכן n + 1 = 8.
- הרבעון הראשון: מיקום 1 · 84 = 2 - מספר שלם, ולכן פשוט האיבר השני: Q1 = 8.
- החציון: מיקום 2 · 84 = 4, כלומר האיבר הרביעי: Q2 = 12.
- הרבעון השלישי: מיקום 3 · 84 = 6, כלומר האיבר השישי: Q3 = 18.
- כש-n + 1 מתחלק ב-4, כל שלושת המיקומים שלמים ואין צורך בממוצעים.
- הטבלה: הערך 2 מופיע 3 פעמים, 3 חמש פעמים, 4 שש פעמים, 5 שלוש פעמים ו-6 פעמיים. סך הכול n = 19.
- שכיחות מצטברת: עד 2 יש 3 נתונים, עד 3 יש 8, עד 4 יש 14, עד 5 יש 17, ועד 6 יש 19.
- העשירון התחתון: מיקום 1 · 2010 = 2. האיבר השני נמצא בקבוצה הראשונה (מצטבר 3), ולכן העשירון התחתון הוא 2.
- העשירון השמיני: מיקום 8 · 2010 = 16. הוא נופל בין מצטבר 14 ל-17, כלומר בקבוצת הערך 5.
- העשירון התחתון = 2, העשירון השמיני = 5, והעשירון התשיעי (מיקום 18) = 6. בטבלה עובדים תמיד עם השכיחות המצטברת.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (חישוב מיקום וערך של רבעון), יישום (עשירונים ומשמעותם), ורמת בגרות (טבלת שכיחויות מצטברת ומקרה שבו המיקום אינו שלם). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הרבעונים" שמראה את המיקום ואת הערך.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1מיון וספירה: ממיינים בסדר עולה וסופרים את n לפני כל חישוב מיקום.
- 2רבעון: הרבעון ה-i הוא האיבר במיקום i(n + 1) חלקי 4.
- 3עשירון: העשירון ה-i הוא האיבר במיקום i(n + 1) חלקי 10.
- 4מיקום שאינו שלם: אם k הוא החלק השלם - לוקחים את ממוצע האיברים במקומות k ו-k + 1.
- 5משמעות: העשירון העליון גבוה מ-90% מהקבוצה. ההפרשים בין העשירונים אינם עשירית מהפרש הקצוות.
- 6בתשפ״ז: רבעונים ועשירונים אינם נלמדים ואינם נבחנים בשאלון 35371. מדד הפיזור הנבחן השנה הוא סטיית התקן.
