תרגול יחס, פרופורציה וקנה מידה
כל מה שלמדנו ביחידה הראשונה של אשכול ההתמצאות - יחס a : b וצמצומו, המרת יחידות לפני כתיבת היחס, חלוקה לפי יחס (גם בין שלושה גדלים), פרופורציה עם כפל בהצלבה a·d = b·c, חילוץ ממדי מלבן מתוך היקף או שטח, וקנה מידה 1 : n בשני הכיוונים - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב בודד ועד ניתוח ואיתור טעות ברמת בגרות.
בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה לפי כללי היחס והפרופורציה: חלוקה לפי יחס = מחלקים בסכום החלקים וכופלים בחלק, כפל בהצלבה בפרופורציה, יחס עם היקף או שטח לחילוץ ממד חסר, וקנה מידה להמרת אורך במפה למרחק בשטח. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". a : b = c : d · a·d = b·c · חלק = הכמות / סכום החלקים · 1 : n בקנה מידה
יחס אחד, הרבה שאלות. מאותו מצב אפשר לשאול: "איך מחלקים לפי היחס?" - סוכמים את החלקים ומחלקים את הכמות. "מה הממד החסר?" - מסמנים 3x ו-5x ומציבים את ההיקף או את השטח. "כמה זה במציאות?" - קנה מידה 1 : 200,000 הופך כל ס״מ במפה ל-2 ק״מ. נעבור כאן על הכללים בקצרה, ומשם לתרגול המדורג.
האנטומיה של פרופורציה - תזכורת
נזכר שוב במבנה: פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים, a : b = c : d. יש בה איברים קיצוניים (החיצוניים) ואיברים אמצעיים (הפנימיים), ומכפלת הקיצוניים שווה למכפלת האמצעיים: a·d = b·c. כשמזהים את החלקים, קל לחלץ כל נעלם. אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מהיחידה הראשונה של אשכול ההתמצאות, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מיחס בין גדלים והמרת יחידות, דרך החלוקה לפי יחס והכפל בהצלבה, ועד חילוץ ממדים מהיקף או משטח ועד קנה המידה. ואז לתרגול המדורג.
מהו יחס בין גדלים
יחס a : b משווה שני גדלים מאותו סוג, ואפשר להרחיב או לצמצם אותו: 2 : 3 = 4 : 6 = 10 : 15. לפני שכותבים יחס יש לוודא שהגדלים באותן יחידות: 800 ס״מ מול 1.5 מ׳ הם 800 : 150 = 16 : 3.
חלוקה לפי יחס
סוכמים את חלקי היחס, מחלקים את הכמות במספר החלקים, וכופלים בכל חלק. חלוקת 3,000 ₪ ביחס 2 : 3: סכום החלקים 5, חלק אחד 600 ₪, ולכן 1,200 ₪ ו-1,800 ₪. אותו כלל עובד גם ליחס 3 : 4 : 5.
פרופורציה וכפל בהצלבה
בכל פרופורציה a : b = c : d מתקיים a·d = b·c (מכפלת הקיצוניים = מכפלת האמצעיים). זה הכלי המרכזי לחילוץ נעלם: מתוך 2 : 3 = 8 : x נקבל 2·x = 24, כלומר x = 12.
יחס צלעות והיקף
נתון יחס הצלעות והיקף המלבן? מסמנים 3x ו-5x ופותרים משוואה ממעלה ראשונה. עבור היקף 96 מ׳: 2(3x + 5x) = 96, כלומר 16x = 96 ו-x = 6 - צלעות 18 מ׳ ו-30 מ׳.
יחס צלעות ושטח
נתון היחס ונתון השטח? מגיעים למשוואה ממעלה שנייה. עבור יחס 3 : 4 ושטח 588 מ״ר: 3x · 4x = 12x² = 588, מכאן x² = 49 ו-x = 7 - צלעות 21 מ׳ ו-28 מ׳. הפתרון השלילי נפסל.
קנה מידה
קנה מידה 1 : n אומר שכל יחידה בשרטוט או במפה שווה ל-n יחידות במציאות. מהמפה למציאות כופלים ב-n, ומהמציאות למפה מחלקים ב-n. זכרו: 100,000 ס״מ = 1 ק״מ.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מסוגי היחידה: חלוקה לפי יחס, יחס צלעות עם שטח נתון, וקנה מידה של תוכנית דירה. שימו לב לשיטה, היא חוזרת בכל שאלה בתרגול.
- סוכמים את חלקי היחס: 2 + 3 = 5 חלקים שווים.
- מחשבים חלק אחד: 3,000 : 5 = 600 ₪ לכל חלק.
- כופלים בכל חלק: 2 · 600 = 1,200 ₪ ו-3 · 600 = 1,800 ₪.
- החלוקה היא 1,200 ₪ ו-1,800 ₪ (וסכומן 3,000 ₪).
- מסמנים לפי היחס: הממדים הם 3x ו-4x (במטרים).
- כותבים את השטח: 3x · 4x = 588, כלומר 12x² = 588.
- פותרים: x² = 49, ולכן x = 7 (הפתרון השלילי נפסל, אורך חיובי).
- מציבים בחזרה: 3 · 7 = 21 מ׳ ו-4 · 7 = 28 מ׳. בדיקה: 21 · 28 = 588 מ״ר.
- ממדי המגרש הם 21 מ׳ ו-28 מ׳.
- מפעילים את קנה המידה: כל ס״מ בתרשים הוא 100 ס״מ במציאות, כלומר מטר אחד.
- ממדי הדירה במציאות: 6 מ׳ ו-12 מ׳.
- שטח הדירה: 6 · 12 = 72 מ״ר.
- הדירה היא 6 מ׳ על 12 מ׳, ושטחה 72 מ״ר. שימו לב: האורכים גדלו פי 100 והשטח פי 10,000.
תרגול מדורג - יחס, פרופורציה וקנה מידה
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסודות היחס (צמצום, פרופורציה, חלק אחד); בעיות מהחיים (חלוקה, מחיר, המרת יחידות, קנה מידה); חילוץ ממדים מהיקף ומשטח וחלוקה מרובת חלקים; ועד ניתוח, איתור טעות ושאלה רב-שלבית ברמת בגרות. כל התשובות יוצאות ערך מדויק. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "פרופורציה". בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1לפני כל יחס: ודאו שהגדלים באותן יחידות, ורק אז כתבו את היחס וצמצמו.
- 2חלוקה לפי יחס: סוכמים את החלקים, מחלקים את הכמות, וכופלים בכל חלק.
- 3פרופורציה: a : b = c : d ⟸ כפל בהצלבה a·d = b·c.
- 4יחס עם היקף ⟸ משוואה ממעלה ראשונה; יחס עם שטח ⟸ משוואה ממעלה שנייה, ובה פוסלים את הפתרון השלילי.
- 5קנה מידה: מהשרטוט למציאות כופלים ב-n, מהמציאות לשרטוט מחלקים ב-n. זכרו 100,000 ס״מ = 1 ק״מ.
| הנתון | החישוב | התוצאה |
|---|---|---|
| 3,000 ₪ ביחס 2 : 3 | 3,000 : 5 = 600 | 1,200 ו-1,800 ₪ |
| 2 : 3 = 8 : x | 2·x = 3·8 = 24 | x = 12 |
| יחס 3 : 5, היקף 96 מ׳ | 2(3x + 5x) = 96, x = 6 | 18 מ׳ ו-30 מ׳ |
| יחס 3 : 4, שטח 588 מ״ר | 12x² = 588, x = 7 | 21 מ׳ ו-28 מ׳ |
| 1 : 200,000, 4 ס״מ | 4·200,000 = 800,000 ס״מ | 8 ק״מ |
