נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · י״א · 3 יח״ל 3 יחידות
אשכול התמצאות במישור ובמרחב · יחידה ראשונה

לחשוב ביחסים

יחס הוא הדרך להשוות בין שני גדלים או יותר, פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים, וקנה מידה הוא היחס שבין השרטוט למציאות. זו היחידה הראשונה של אשכול ההתמצאות במישור ובמרחב בכיתה י״א, והיא הבסיס ליחידה הבאה - דמיון משולשים. נחלק לפי יחס, נחלץ ממד חסר ממלבן שנתון היקפו או שטחו, ונקרא מפה, תצלום ותוכנית דירה לפי קנה המידה שלהם.

מעבדת היחס, הפרופורציה וקנה המידה שנו את היחס וראו את החלוקה, הפרופורציה והמפה משתנים
חלוקת 3,000 ₪ לפי היחס 1,200 ₪ 1,800 ₪ פרופורציה ישרה: מחיר לפי כמות ק״ג קנה מידה 1 : 200,000 על המפה 4 ס״מ ⟵ 8 ק״מ
היחס: 2 : 3
כפל בהצלבה: 2·3 = 3·2
חלק ראשון (a)2
חלק שני (b)3
שנו את a ו-b וראו איך החלוקה, המחיר והמפה מתעדכנים

למה יחס? על מפה בקנה מידה 1 : 200,000 כל סנטימטר על הנייר הוא 2 קילומטר בשטח, ולכן 4 ס״מ במפה הם 8 ק״מ בדרך. אותו רעיון בדיוק עומד מאחורי תצלום של מגדל, תוכנית של דירה, מסגרת של תמונה וחלוקת תשלומי ועד בית: יחס אחד קבוע בין שני גדלים, ופרופורציה שמאפשרת לחלץ ממנו כל נעלם.

מבט מקרוב

האנטומיה של פרופורציה

פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים: a : b = c : d. במבנה הזה יש איברים קיצוניים (החיצוניים) ואיברים אמצעיים (הפנימיים), ומכפלת הקיצוניים שווה למכפלת האמצעיים. כשמזהים את החלקים, כל נעלם נחלץ בשורה אחת.

החלקים של פרופורציה
2 : 3 = 8 : x איבר קיצוני איבר קיצוני איברים אמצעיים כפל בהצלבה: 2·x = 3·8
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב יחס, פרופורציה וקנה מידה

שישה רעיונות שנותנים שליטה מלאה בכל שאלת יחס באשכול ההתמצאות. נסו לשנות את היחס במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה וצפו איך כל רעיון בא לידי ביטוי.

1

מהו יחס בין גדלים

יחס a : b משווה שני גדלים מאותו סוג, ואפשר להרחיב או לצמצם אותו: 2 : 3 = 4 : 6 = 10 : 15. לפני שכותבים יחס יש לוודא שהגדלים באותן יחידות: 800 ס״מ מול 1.5 מ׳ הם 800 : 150 = 16 : 3.

2

חלוקה לפי יחס

כדי לחלק כמות לפי יחס 2 : 3, סוכמים את חלקי היחס (2 + 3 = 5), מחלקים את הכמות במספר החלקים, וכופלים בכל חלק. חלוקת 3,000 ₪ ביחס 2 : 3 נותנת 1,200 ₪ ו-1,800 ₪. אותו כלל עובד גם ליחס בין שלושה גדלים, כמו 3 : 4 : 5.

3

פרופורציה וכפל בהצלבה

פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים, a : b = c : d, ובה מתקיים a·d = b·c (מכפלת הקיצוניים שווה למכפלת האמצעיים). זה כלי החילוץ המרכזי: מתוך 2 : 3 = 8 : x נקבל 2·x = 24, כלומר x = 12.

4

יחס צלעות והיקף

כשנתון יחס הצלעות של מלבן ונתון היקפו, מסמנים את הצלעות 2x ו-7x ופותרים משוואה ממעלה ראשונה. עבור היקף 162 מ׳: 2(2x + 7x) = 162, ולכן 9x = 81 ו-x = 9 - צלעות 18 מ׳ ו-63 מ׳.

5

יחס צלעות ושטח

כשנתון היחס ונתון השטח, מגיעים למשוואה ממעלה שנייה. עבור יחס 3 : 4 ושטח 588 מ״ר: 3x · 4x = 588, כלומר 12x² = 588, מכאן x² = 49 ו-x = 7 - צלעות 21 מ׳ ו-28 מ׳ (הפתרון השלילי נפסל, כי אורך חיובי).

6

קנה מידה

קנה מידה 1 : n אומר שכל יחידה בשרטוט, במפה או בתצלום שווה ל-n יחידות במציאות. בקנה מידה 1 : 2,600 מגדל שגובהו 5 ס״מ בתצלום גבוה במציאות 5 · 2,600 = 13,000 ס״מ, כלומר 130 מ׳. בכיוון ההפוך מחלקים בקנה המידה.

פרופורציה ישרה
יחס קבוע · כפל בהצלבה מחלץ כל נעלם
קנה מידה
‎1 בשרטוט = n במציאות · כופלים או מחלקים
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מסוגי היחידה: חלוקה לפי יחס, יחס צלעות עם שטח נתון, וקנה מידה של תוכנית דירה. שימו לב לשיטה, היא חוזרת בכל שאלה: מסמנים את הגדלים כמכפלות של אותו x, ומציבים את הנתון היחיד שיש.

דוגמה 1חלוקת 3,000 ₪ ביחס 2 : 3
  1. סוכמים את חלקי היחס: 2 + 3 = 5 חלקים שווים.
  2. מחשבים חלק אחד: 3,000 : 5 = 600 ₪ לכל חלק.
  3. כופלים בכל חלק: 2 · 600 = 1,200 ₪ ו-3 · 600 = 1,800 ₪.
  4. החלוקה היא 1,200 ₪ ו-1,800 ₪ (וסכומן 3,000 ₪).
דוגמה 2לוח מלבני: יחס הצלעות 1 : 3, השטח 4.32 מ״ר
  1. מסמנים לפי היחס: הצלעות הן x ו-3x (במטרים).
  2. כותבים את השטח: x · 3x = 4.32, כלומר 3x² = 4.32.
  3. פותרים משוואה ממעלה שנייה: x² = 4.323 = 1.44, ולכן x = 1.2 (הפתרון השלילי נפסל, אורך חיובי).
  4. מחשבים את המסגרת: ההיקף הוא 2 · (1.2 + 3.6) = 9.6 מ׳ של פס אלומיניום.
  5. צלעות הלוח הן 1.2 מ׳ ו-3.6 מ׳, והמסגרת באורך 9.6 מ׳.
דוגמה 3תוכנית דירה בקנה מידה 1 : 100, ממדים בתרשים 6 ס״מ × 12 ס״מ
  1. מפעילים את קנה המידה: כל ס״מ בתרשים הוא 100 ס״מ במציאות, כלומר מטר אחד.
  2. ממדי הדירה במציאות: 6 · 100 = 600 ס״מ = 6 מ׳, ו-12 · 100 = 1,200 ס״מ = 12 מ׳.
  3. שטח הדירה: 6 · 12 = 72 מ״ר.
  4. שימו לב ליחס השטחים: האורכים גדלו פי 100, ולכן השטח גדל פי 100² = 10,000.
  5. הדירה היא 6 מ׳ על 12 מ׳, ושטחה 72 מ״ר.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (חילוץ ישיר), יישום (יחס עם היקף, יחס עם שטח וקנה מידה) ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון ואת פותר הפרופורציה של נדב כץ בכפתור שבפינה.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1לפני כל יחס: ודאו שהגדלים באותן יחידות, ורק אז כתבו את היחס וצמצמו.
  • 2חלוקה לפי יחס: סוכמים את החלקים, מחלקים את הכמות, וכופלים בכל חלק - גם ליחס בין שלושה גדלים.
  • 3פרופורציה: a : b = c : d ⟸ כפל בהצלבה a·d = b·c.
  • 4יחס עם היקף מוביל למשוואה ממעלה ראשונה; יחס עם שטח מוביל למשוואה ממעלה שנייה, ובה פוסלים את הפתרון השלילי.
  • 5קנה מידה: 1 : n - מהשרטוט למציאות כופלים ב-n, מהמציאות לשרטוט מחלקים ב-n. זכרו 100,000 ס״מ = 1 ק״מ.
מפתח פתרונות (תרגול)

    גררו את סליידר היחס. החלוקה, הפרופורציה והמפה משתנות יחד ובאותו קצב.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי