תרגול דמיון משולשים יישומי
כל מה שלמדנו על דמיון יישומי - משפט הדמיון זווית-זווית, יחס הדמיון k, ולצידו יחס ההיקפים k ויחס השטחים k², ובראש הכל שיטת הצל וקנה המידה - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב יחס וגובה ישיר ועד בעיה רב-שלבית ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את השיטה: מזהים דמיון, מוצאים את k, ורק אז מחשבים אורך, היקף, שטח או גובה.
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה. זכרו: יחס הדמיון k = צלע גדולה / צלע קטנה, יחס ההיקפים = k, יחס השטחים = k². בשיטת הצל גובה = צל · (גובה ידוע / צל ידוע), ובקנה מידה אורכים גדלים פי k ושטחים פי k². השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". קודם מזהים דמיון ומוצאים את k · ואז מחשבים אורך, היקף, שטח או גובה
אותה זווית שמש, שני גדלים. עצם וצלו יוצרים משולש ישר-זווית. שני עצמים שמוארים באותה שעה נותנים שני משולשים דומים (זווית-זווית), ולכן גובהצל קבוע - וזו שיטת הצל. מכאן אורכים והיקף גדלים פי k, אבל שטח, שתלוי בשתי מידות, גדל פי k². נזכיר כאן את יחס הדמיון, ההיקף, השטח, שיטת הצל וקנה המידה, ומשם לתרגול. זכרו: קודם מזהים דמיון, ורק אז נשענים על k.
האנטומיה של שיטת הצל - תזכורת
נזכר שוב: בשיטת הצל נוצרים שני משולשים ישרי-זווית עם אותה זווית שמש, ולכן לפי משפט הדמיון זווית-זווית הם דומים, והצלעות המתאימות ביחס קבוע k. מכאן גובהצל קבוע לשני העצמים. הנה המפה על דוגמה - מקל 1 מ׳ מול עץ 16 מ׳, שבו הצל 0.5 הופך ל-8.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מדמיון המשולשים היישומי של כיתה יא׳ (3 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: ממשפט הדמיון זווית-זווית, דרך יחס הדמיון k ויחסי ההיקף והשטח, ועד שיטת הצל וקנה המידה. ואז לתרגול המדורג.
משפט הדמיון זווית-זווית
אם בשני משולשים יש שני זוגות זוויות שוות - המשולשים דומים (הזווית השלישית ממילא שווה, כי סכום הזוויות במשולש 180°). בשיטת הצל: זווית השמש משותפת והזווית עם הקרקע ישרה, ולכן דומים.
יחס הדמיון k
כשמשולשים דומים, כל צלע בגדול גדולה פי k מהצלע המתאימה בקטן. אפשר לחשב את k מכל זוג צלעות מתאימות: k = צלע גדולהצלע קטנה.
יחס ההיקפים = k
ההיקף הוא סכום צלעות, וכל צלע גדלה פי k, ולכן ההיקף גדל פי אותו k בדיוק. לדוגמה: יחס דמיון 2:5, היקף הקטן 12 → היקף הגדול 12 · 2.5 = 30.
יחס השטחים = k²
שטח תלוי בשתי מידות (אורך ורוחב), ולכן הוא גדל פי k². אם יחס הדמיון 3, יחס השטחים 3² = 9. זה הכלל שהכי קל לשכוח: שטחים ב-k², לא ב-k.
שיטת הצל
עצם וצלו יוצרים משולש ישר-זווית; שני עצמים באותה שעה נותנים שני משולשים דומים, אז גובהצל קבוע. מכאן גובה = צל · גובה ידועצל ידוע.
קנה מידה
קנה מידה במפה הוא בדיוק יחס דמיון. במפה 1:1000 כל 1 ס״מ הוא 1000 ס״מ במציאות. אורכים מוכפלים ב-k, ושטחים ב-k².
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. השיטה קבועה: מזהים דמיון, מוצאים את יחס הדמיון k, ואז מיישמים - אורכים והיקף ב-k, שטחים ב-k². אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מזהים דמיון: העץ+צלו והמקל+צלו הם שני משולשים ישרי-זווית עם אותה זווית שמש, ולכן דומים (זווית-זווית).
- מחשבים את היחס במקל: גובהצל = 10.5 = 2 - לכל מטר צל, שני מטרים גובה.
- מיישמים על העץ: גובה עץ = 8 · 2 = 16 מ׳.
- גובה העץ הוא 16 מ׳ - נמדד בלי לטפס, רק מהצללים.
- יחס הדמיון: k = 52 = 2.5 - הגדול פי 2.5 מהקטן.
- יחס ההיקפים = k: ההיקף גדל באותו יחס כמו הצלעות, ולכן היקף גדול = 12 · 2.5.
- מחשבים: 12 · 2.5 = 30 ס״מ.
- היקף המשולש הגדול הוא 30 ס״מ.
- יחס הדמיון: k = 3.
- יחס השטחים = k²: k² = 3² = 9 - השטח גדל פי 9, ולא פי 3.
- מחשבים: שטח גדול = 20 · 9 = 180 סמ״ר.
- שטח המשולש הגדול הוא 180 סמ״ר. שימו לב: היחס הוא k² = 9.
תרגול מדורג - דמיון משולשים יישומי
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: חישוב ישיר של יחס, היקף ושטח; שיטת הצל וקנה מידה; פיזור בין היקף לשטח ובעיות הקשר; ועד ניתוח רב-שלבי ואיתור טעות ברמת בגרות. כל השאלות מבוססות על החומר של כיתה יא׳ 3 יח״ל (זווית-זווית, k, היקף, שטח, צל וקנה מידה), והתשובות יוצאות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הדמיון" שמחשבת יחס היקפים, יחס שטחים ואורך מתאים מיחס דמיון נתון. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1דמיון זווית-זווית: שתי זוויות שוות → המשולשים דומים.
- 2יחס דמיון: k = צלע גדולהצלע קטנה - קבוע לכל זוג צלעות מתאימות.
- 3אורכים והיקף: גדלים פי k.
- 4שטח: גדל פי k² - לא פי k!
- 5שיטת הצל: גובה = צל · גובה ידועצל ידוע.
| הכלל | מה אומר | דוגמה |
|---|---|---|
| זווית-זווית | שתי זוויות שוות → דמיון | ∠,∠ → ∼ |
| יחס דמיון k | צלע גדולה / צלע קטנה | 124 = 3 |
| יחס היקפים | שווה ל-k | k = 2.5 → 12·2.5 = 30 |
| יחס שטחים | שווה ל-k² | k = 3 → 3² = 9 |
| שיטת הצל | גובה = צל · גובה-ידוע/צל-ידוע | 8 · (10.5) = 16 |
| קנה מידה | אורך ·k, שטח ·k² | 5 ס״מ · 1000 = 50 מ׳ |
