למדוד את הגבוה, דרך הצל
שני משולשים שיש להם שתי זוויות שוות הם דומים - הצלעות שלהם ביחס קבוע k. מכאן: יחס ההיקפים הוא k, ויחס השטחים הוא k². עם השיטה הזו מודדים גובה של עץ רק מהצל שהוא מטיל. גררו את יחס הדמיון במעבדה וראו איך ההיקף גדל פי k והשטח פי k².
איך מודדים גובה של עץ בלי לטפס? תָלס, לפני 2600 שנה, פתר את זה עם צל. באותה שעה שהשמש מטילה צל מהעץ, היא מטילה צל גם ממקל שאנחנו מחזיקים. שני המשולשים - עץ+צל ומקל+צל - דומים, כי לשניהם אותה זווית שמש ואותה זווית ישרה עם הקרקע. אם מקל בגובה 1 מ׳ מטיל צל 0.5 מ׳ והעץ מטיל צל 8 מ׳, אז גובה העץ הוא 8 · 10.5 = 16 מ׳.
האנטומיה של שני משולשים דומים
בשיטת הצל נוצרים שני משולשים ישרי־זווית עם אותה זווית שמש. לכן, לפי משפט הדמיון זווית-זווית, הם דומים, והצלעות המתאימות שלהם ביחס קבוע. הנה המפה המלאה על דוגמה - עץ מול מקל:
מה מרכיב דמיון משולשים
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל בעיית דמיון, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-3 יח״ל. נסו לשנות את יחס הדמיון במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך משתנים ההיקף והשטח.
משפט הדמיון זווית-זווית
אם בשני משולשים יש שני זוגות זוויות שוות, המשולשים דומים. (הזווית השלישית ממילא שווה, כי סכום הזוויות במשולש 180°.) בשיטת הצל: זווית השמש משותפת והזווית עם הקרקע ישרה - ולכן דומים.
יחס הדמיון k
כשמשולשים דומים, כל צלע במשולש הגדול גדולה פי k מהצלע המתאימה במשולש הקטן. k הוא יחס הדמיון, ואפשר לחשב אותו מכל זוג צלעות מתאימות: k = צלע גדולהצלע קטנה.
יחס ההיקפים = k
ההיקף הוא סכום צלעות, וכל צלע גדלה פי k, ולכן ההיקף גדל פי אותו k בדיוק. לדוגמה: יחס דמיון 2:5, היקף הקטן 12 → היקף הגדול 12 · 52 = 30.
יחס השטחים = k²
שטח תלוי בשני ממדים (אורך ורוחב), ולכן הוא גדל פי k². אם יחס הדמיון הוא 3, יחס השטחים הוא 3² = 9 - המשולש הגדול פי 9 בשטחו. זה הכלל שהכי קל לשכוח: שטחים ב-k², לא ב-k.
שיטת הצל
עצם וצלו יוצרים משולש ישר־זווית. שני עצמים שמוארים באותה שעה נותנים שני משולשים דומים, אז גובהצל קבוע. מכאן גובה עץ = צל עץ · גובה מקלצל מקל.
קנה מידה
קנה מידה במפה או בשרטוט הוא בדיוק יחס דמיון. במפה 1:1000 כל 1 ס״מ הוא 1000 ס״מ במציאות. אורכים מוכפלים ב-k, ושטחים ב-k² - שדה שנראה 2 ס״מ² במפה הוא פי 1000² בשטח האמיתי.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 3 יח״ל. שימו לב לשיטה - מזהים דמיון, מוצאים את k, ואז מיישמים: אורכים ב-k, שטחים ב-k².
- מזהים דמיון: העץ+צלו והמקל+צלו הם שני משולשים ישרי־זווית עם אותה זווית שמש, ולכן דומים (זווית-זווית).
- מחשבים את היחס במקל: גובהצל = 10.5 = 2 - לכל מטר צל, שני מטרים גובה.
- מיישמים על העץ: גובה עץ = 8 · 2 = 16 מ׳.
- גובה העץ הוא 16 מ׳ - נמדד בלי לטפס, רק מהצללים.
- יחס הדמיון: k = 52 = 2.5 - המשולש הגדול פי 2.5 מהקטן.
- יחס ההיקפים = k: ההיקף גדל באותו יחס כמו הצלעות, ולכן היקף גדול = 12 · 2.5.
- מחשבים: 12 · 2.5 = 30 ס״מ.
- היקף המשולש הגדול הוא 30 ס״מ.
- יחס הדמיון: k = 3.
- יחס השטחים = k²: k² = 3² = 9 - השטח גדל פי 9, ולא פי 3.
- מחשבים: שטח גדול = 20 · 9 = 180 סמ״ר.
- שטח המשולש הגדול הוא 180 סמ״ר. שימו לב: היחס הוא k² = 9.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (חישוב k, היקף ושטח ישיר), יישום (שיטת הצל, קנה מידה ובעיות הקשר), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הדמיון".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1דמיון זווית-זווית: שתי זוויות שוות ⟵ המשולשים דומים.
- 2יחס דמיון: k = צלע גדולהצלע קטנה - קבוע לכל זוג צלעות מתאימות.
- 3אורכים והיקף: גדלים פי k.
- 4שטח: גדל פי k² - לא פי k!
- 5שיטת הצל: גובה = צל · גובה ידועצל ידוע.
