תרגול משוואת המעגל והמשיק
כל מה שלמדנו על המעגל האנליטי - קריאת מרכז ורדיוס מהמשוואה (x - a)² + (y - b)² = r², שיפוע הרדיוס אל נקודת ההשקה, ומכאן שיפוע המשיק שהוא הנגדי-ההופכי (מכפלת השיפועים -1), ועד משוואת המשיק דרך הנקודה - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מקריאה בודדת ועד שאלה רב-שלבית ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את הלב של הכול: המשיק מאונך לרדיוס לנקודת ההשקה.
בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה לפי כלי המעגל והמשיק: מהמשוואה (x - a)² + (y - b)² = r² קוראים מרכז (a, b) ורדיוס r = r²; שיפוע הרדיוס הוא (y₀ - b)/(x₀ - a); שיפוע המשיק הוא הנגדי-ההופכי של שיפוע הרדיוס (מכפלת השיפועים -1); ומשוואת המשיק דרך הנקודה: y - y₀ = m(x - x₀). השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". המשיק תמיד מאונך לרדיוס לנקודת ההשקה.
איך משיקים ישר למעגל? כל נקודה על המעגל היא קצה של רדיוס - הקטע ממנה אל המרכז. הרעיון היפה: המשיק בנקודה זו הוא הישר המאונך לרדיוס בדיוק שם. לכן די למצוא את שיפוע הרדיוס, להפוך אותו לנגדי-ההופכי, ולכתוב את משוואת הישר דרך הנקודה. נרענן כאן את הכלים - משוואת המעגל (x - a)² + (y - b)² = r², זיהוי מרכז ורדיוס, ומשוואת המשיק - ומשם לתרגול המדורג.
האנטומיה של המעגל והמשיק - תזכורת
נזכר שוב במבנה: המרכז (a, b), הרדיוס r שנמתח אל נקודת ההשקה, והמשיק הניצב לרדיוס באותה נקודה. מהרדיוס מסיקים את שיפועו, וממנו את שיפוע המשיק (הנגדי-ההופכי) ואת משוואת המשיק. הנה התמונה המלאה על הדוגמה (x - 2)² + (y + 1)² = 25 - מרכז (2, -1), רדיוס 5 - עם המשיק בנקודה (5, 3).
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מהמעגל האנליטי ב-4 יח״ל, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: ממשוואת המעגל, דרך מרכז ורדיוס, האנכיות בין המשיק לרדיוס, שיפוע הרדיוס ושיפוע המשיק, ועד משוואת המשיק. ואז לתרגול המדורג.
משוואת המעגל
מעגל שמרכזו (a, b) ורדיוסו r מתואר על ידי (x - a)² + (y - b)² = r². כל נקודה שמקיימת את המשוואה נמצאת במרחק r מהמרכז.
מרכז ורדיוס, מצב הדדי ומעגל המשיק לצירים
מהמשוואה קוראים ישירות: המרכז (a, b) והרדיוס r = r². שימו לב לסימנים - (y + 1)² פירושו b = -1. למשל (x - 2)² + (y + 1)² = 25 נותן מרכז (2, -1) ורדיוס 5.
מצב הדדי: משווים את המרחק d מהמרכז אל הישר לרדיוס: d > R אין חיתוך · d = R משיק · d < R שתי נקודות. אפשר גם לפתור את המערכת ולספור פתרונות. משיק לציר: |b| = R לציר ה-x, |a| = R לציר ה-y.
המשיק מאונך לרדיוס
העיקרון המרכזי: המשיק בנקודה שעל המעגל ניצב לרדיוס לנקודת ההשקה. לכן אם שיפוע הרדיוס הוא m, שיפוע המשיק הוא הנגדי-ההופכי -1/m.
שיפוע הרדיוס
הרדיוס מחבר את המרכז (a, b) לנקודת ההשקה (x₀, y₀), ושיפועו (y₀ - b)/(x₀ - a). בדוגמה: (3 - (-1))/(5 - 2) = 43.
שיפוע המשיק
הופכים את שיפוע הרדיוס לנגדי-ההופכי: אם הרדיוס 43 אז המשיק -34. בדיקה: מכפלת השיפועים (43)·(-34) = -1, כמתחייב מישרים מאונכים.
משוואת המשיק
ישר דרך נקודת ההשקה (x₀, y₀) עם השיפוע שמצאנו: y - y₀ = m(x - x₀). בדוגמה y - 3 = -34 (x - 5), ואחרי סידור: 3x + 4y = 27.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: קוראים מרכז ורדיוס, מוצאים את שיפוע הרדיוס, הופכים לנגדי-ההופכי, וכותבים את משוואת המשיק. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- משווים לתבנית: (x - a)² + (y - b)² = r², כלומר a = 2, b = -1 (כי y + 1 = y - (-1)).
- הרדיוס: r² = 25, ולכן r = 25 = 5.
- המרכז הוא (2, -1) והרדיוס 5.
- הרדיוס מחבר מרכז לנקודה: מ-(2, -1) אל (5, 3).
- שיפוע הרדיוס: (3 - (-1))/(5 - 2) = 43.
- שיפוע המשיק (נגדי-הופכי): -34. בדיקה: (43)·(-34) = -1.
- שיפוע הרדיוס הוא 43, ולכן שיפוע המשיק הוא -34.
- שיפוע המשיק: מהרדיוס 43 מקבלים m = -34.
- משוואת הישר דרך הנקודה: y - 3 = -34 (x - 5).
- מכפילים ב-4: 4y - 12 = -3(x - 5) = -3x + 15.
- מסדרים: 3x + 4y = 27.
- משוואת המשיק היא 3x + 4y = 27.
תרגול מדורג - המעגל והמשיק
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסוד (מרכז, רדיוס ושיפוע הרדיוס), יישום (שיפוע המשיק ומשוואתו), מוגברת (שאלה רב-שלבית עם הצבה ובדיקה), ורמת בגרות (רב-שלבית עם שני פריטי איתור טעות). כל התשובות המספריות סופיות והמשוואות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המשיק". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1משוואת המעגל: (x - a)² + (y - b)² = r² - מרכז (a, b), רדיוס r.
- 2מרכז ורדיוס: קוראים ישירות מהמשוואה; שימו לב לסימנים (y + 1 → b = -1) ולכך ש-r = r².
- 3המשיק ⊥ רדיוס: המשיק בנקודה שעל המעגל ניצב לרדיוס לנקודת ההשקה.
- 4שיפוע המשיק: הנגדי-ההופכי של שיפוע הרדיוס - m = -1/m_רדיוס (מכפלה -1).
- 5משוואת המשיק: y - y₀ = m(x - x₀) דרך נקודת ההשקה, ואז מסדרים לצורה סטנדרטית.
| המעגל והנקודה | מרכז, רדיוס ושיפוע הרדיוס | שיפוע המשיק ומשוואתו |
|---|---|---|
| (x-2)² + (y+1)² = 25 · (5, 3) | מרכז (2, -1), r = 5, שיפוע רדיוס 43 | שיפוע משיק -34 · 3x + 4y = 27 |
| (x-1)² + (y-3)² = 20 · (3, 7) | מרכז (1, 3), שיפוע רדיוס 2 | שיפוע משיק -12 · x + 2y = 17 |
| x² + y² = 100 · (6, 8) | מרכז (0, 0), r = 10, שיפוע רדיוס 43 | שיפוע משיק -34 · 3x + 4y = 50 |
