נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יא׳ · 4 יח״ל 4 יחידות
גאומטריה אנליטית של המעגל

משוואת המעגל והמשיק לנקודה שעליו

מעגל שמרכזו (a, b) ורדיוסו r מתואר על ידי (x − a)² + (y − b)² = r². המשיק בנקודה שעל המעגל תמיד מאונך לרדיוס לנקודת ההשקה - ומכאן שיפוע המשיק הוא הנגדי־ההופכי של שיפוע הרדיוס. גררו את נקודת ההשקה במעבדה וראו את הרדיוס והמשיק המאונך לו נעים יחד.

מעבדת המעגל והמשיק גררו את נקודת ההשקה וצפו במשיק המאונך לרדיוס
(x - 2)² + (y + 1)² = 25
נקודת ההשקה (5, 3) שיפוע הרדיוס 43 שיפוע המשיק -34
זווית נקודת ההשקה θ°53

איך משיקים ישר למעגל? כל נקודה על המעגל היא קצה של רדיוס - הקטע ממנה אל המרכז. הרעיון היפה של הגאומטריה האנליטית: המשיק בנקודה זו הוא הישר המאונך לרדיוס בדיוק באותה נקודה. לכן די למצוא את שיפוע הרדיוס, להפוך אותו לנגדי־ההופכי, ולכתוב את משוואת הישר דרך הנקודה. בדף הזה נכתוב את משוואת המעגל (x − a)² + (y − b)² = r², נזהה מרכז ורדיוס, ונמצא את משוואת המשיק.

מבט מקרוב

האנטומיה של המעגל והמשיק

בנקודת השקה אחת נפגשים כל הרכיבים: המרכז (a, b), הרדיוס r שנמתח אל נקודת ההשקה, והמשיק הניצב לרדיוס באותה נקודה. הנה המפה על הדוגמה (x − 2)² + (y + 1)² = 25 - מרכז (2, −1), רדיוס 5 - עם המשיק בנקודה (5, 3):

המשיק ל-(x − 2)² + (y + 1)² = 25 בנקודה (5, 3) - המשוואה 3x + 4y = 27
y x מרכז (2, -1) נקודת ההשקה (5, 3) (x-2)² + (y+1)² = 25 המשיק 3x+4y=27 רדיוס r = 5
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב את משוואת המעגל והמשיק

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה במעגל האנליטי ובמשיק בנקודה שעליו, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-4 יח״ל. נסו לגרור את נקודת ההשקה במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך הרדיוס והמשיק המאונך לו נעים יחד.

1

משוואת המעגל

מעגל שמרכזו (a, b) ורדיוסו r מתואר על ידי (x − a)² + (y − b)² = r². כל נקודה שמקיימת את המשוואה נמצאת במרחק r מהמרכז.

2

מרכז ורדיוס, ומעגל המשיק לצירים

מהמשוואה קוראים ישירות: המרכז הוא (a, b) והרדיוס r = r². שימו לב לסימנים - (y + 1)² פירושו b = −1. למשל (x − 2)² + (y + 1)² = 25 נותן מרכז (2, −1) ורדיוס 5.

מעגל המשיק לציר: המרחק ממרכז (a, b) לציר ה-x הוא |b|, ולציר ה-y הוא |a|. לכן המעגל משיק לציר ה-x בדיוק כאשר |b| = R, משיק לציר ה-y כאשר |a| = R, ומשיק לשני הצירים כאשר |a| = |b| = R. למשל (x - 3)² + (y - 3)² = 9 משיק לשניהם.

3

המצב ההדדי בין מעגל וישר

העיקרון המרכזי: המשיק בנקודה שעל המעגל ניצב לרדיוס לנקודת ההשקה. לכן אם שיפוע הרדיוס הוא m, שיפוע המשיק הוא הנגדי־ההופכי −1/m.

יש שתי דרכים לקבוע את המצב ההדדי, ושתיהן נדרשות. דרך א - מרחק מול רדיוס: מחשבים את המרחק d ממרכז המעגל אל הישר ומשווים ל-R: d > R ⟵ אין נקודות משותפות; d = R ⟵ הישר משיק; d < R ⟵ שתי נקודות חיתוך. דרך ב - פתרון מערכת: מציבים את משוואת הישר במשוואת המעגל ומקבלים משוואה ריבועית: שני פתרונות ⟵ שתי נקודות; פתרון יחיד ⟵ משיק; אין פתרון ⟵ אין חיתוך. למשל למעגל x² + y² = 25 והישר 3x + 4y = 25 מתקיים d = 25 : 5 = 5 = R, ולכן הישר משיק.

4

שיפוע הרדיוס

הרדיוס מחבר את המרכז (a, b) לנקודת ההשקה (x₀, y₀), ושיפועו (y₀ − b)/(x₀ − a). בדוגמה: (3 − (−1))/(5 − 2) = 43.

5

שיפוע המשיק

הופכים את שיפוע הרדיוס לנגדי־ההופכי: אם הרדיוס 43 אז המשיק −34. בדיקה: מכפלת השיפועים היא (43)·(−34) = −1, כפי שצריך לישרים מאונכים.

6

משוואת המשיק

ישר דרך נקודת ההשקה (x₀, y₀) עם השיפוע שמצאנו: y − y₀ = m(x − x₀). בדוגמה y − 3 = −¾(x − 5), ואחרי סידור: 3x + 4y = 27.

משיק
המשיק ניצב לרדיוס - נוגע בנקודה אחת בלבד
חותך
ישר חותך - פוגש את המעגל בשתי נקודות
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון הגאומטריה האנליטית ב-4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: קוראים מרכז ורדיוס, מוצאים את שיפוע הרדיוס, הופכים לנגדי־ההופכי, וכותבים את משוואת המשיק.

דוגמה 1(x − 2)² + (y + 1)² = 25
  1. משווים לתבנית: (x − a)² + (y − b)² = r², כלומר a = 2, b = −1 (כי y + 1 = y − (−1)).
  2. הרדיוס: r² = 25, ולכן r = 5.
  3. המרכז הוא (2, −1) והרדיוס 5.
דוגמה 2שיפוע הרדיוס אל (5, 3) במעגל שמרכזו (2, −1)
  1. הרדיוס מחבר מרכז לנקודה: מ-(2, −1) אל (5, 3).
  2. מחשבים שיפוע: (3 − (−1))/(5 − 2) = 43.
  3. שיפוע המשיק (נגדי־הופכי): −34. בדיקה: (43)·(−34) = −1.
  4. שיפוע הרדיוס הוא 43, ולכן שיפוע המשיק הוא −34.
דוגמה 3משיק ל-(x − 2)² + (y + 1)² = 25 בנקודה (5, 3)
  1. שיפוע המשיק: מהרדיוס 43 מקבלים m = −34.
  2. משוואת הישר דרך הנקודה: y − 3 = −¾(x − 5).
  3. מכפילים ב-4: 4y − 12 = −3(x − 5) = −3x + 15.
  4. מסדרים: 3x + 4y = 27.
  5. משוואת המשיק היא 3x + 4y = 27.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (קריאת מרכז, רדיוס ושיפוע רדיוס), יישום (שיפוע המשיק ומשוואתו), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המשיק".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1משוואת המעגל: (x − a)² + (y − b)² = r² - מרכז (a, b), רדיוס r.
  • 2מרכז ורדיוס: קוראים ישירות מהמשוואה; שימו לב לסימנים (y + 1 → b = −1).
  • 3המשיק ⊥ רדיוס: המשיק בנקודה שעל המעגל ניצב לרדיוס לנקודת ההשקה.
  • 4שיפוע המשיק: הנגדי־ההופכי של שיפוע הרדיוס - m = −1/m_רדיוס.
  • 5משוואת המשיק: y − y₀ = m(x − x₀) דרך נקודת ההשקה.
  • 7מצב הדדי: d > R אין חיתוך · d = R משיק · d < R שתי נקודות. משיק לציר: |b| = R לציר ה-x, |a| = R לציר ה-y.
מפתח פתרונות (תרגול)

    גררו את נקודת ההשקה. הרדיוס והמשיק נעים יחד, ותמיד בזווית ישרה זה לזה.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי