תרגול זווית מרכזית והיקפית במעגל
כל מה שלמדנו על הזוויות במעגל, עכשיו לתרגול: זווית היקפית = מחצית המרכזית על אותה קשת (ובהפוך - מרכזית פי שניים מההיקפית), זוויות היקפיות על אותה קשת שוות זו לזו, וזווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90°. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות - מהמרה ישירה ועד שאלה רב-שלבית ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את הכלל המרכזי: היקפית = ½ · מרכזית.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון לפי משפטי הזוויות במעגל. זכרו: זווית היקפית שווה למחצית המרכזית על אותה קשת (מרכזית = פי שניים מההיקפית), זוויות היקפיות על אותה קשת שוות זו לזו, וזווית היקפית על קוטר היא 90°. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". היקפית = מחצית המרכזית · מרכזית = פי שניים · על קוטר 90°
משפט אחד, וכל הזוויות במעגל נפתחות. כמעט כל שאלה על זוויות במעגל חוזרת לאותו כלל: זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. ממנו נובע ישירות שכל הזוויות ההיקפיות על אותה קשת שוות זו לזו (כל אחת מחצית של אותה מרכזית), ושזווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90° - כי המרכזית שלה היא הזווית השטוחה 180°. מכאן שמשולש החסום במעגל שאחת מצלעותיו קוטר הוא ישר-זווית מול הקוטר. נזכיר כאן את המשפטים, ואחר כך לתרגול המדורג.
האנטומיה של משפט הזווית ההיקפית - תזכורת
נזכר בכלל המרכזי של התרגול: זווית מרכזית ראשה במרכז O, וזווית היקפית ראשה על ההיקף; כששתיהן נשענות על אותה קשת AB מתקיים ∠ACB = ½ · ∠AOB. הנה המפה על דוגמה: מרכזית של 100° נותנת זווית היקפית של 50° - אותה תמונה תלווה אתכם בתרגול.
משפטי הזוויות במעגל - בקצרה
שישה מושגים מגאומטריית המעגל של כיתה יא׳ (4 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: זווית מרכזית, זווית היקפית, הכלל המרכזי, זוויות היקפיות על אותה קשת, הזווית על הקוטר, והמשולש החסום על קוטר. ואז לתרגול המדורג.
זווית מרכזית
זווית שקודקודה במרכז המעגל, ושתי צלעותיה רדיוסים. הזווית המרכזית ∠AOB "מודדת" את הקשת AB שעליה היא נשענת.
זווית היקפית
זווית שקודקודה על ההיקף, ושתי צלעותיה מיתרים. הזווית ההיקפית ∠ACB נשענת על הקשת AB שאינה מכילה את הקודקוד C.
הכלל המרכזי
היקפית = ½ · מרכזית - כשהן נשענות על אותה קשת. מרכזית 100° נותנת היקפית 50°; ובכיוון ההפוך, מרכזית = 2 · היקפית.
היקפיות על אותה קשת
כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו - כי כל אחת היא מחצית של אותה זווית מרכזית. שני "צופים" שונים על ההיקף רואים את המיתר באותה זווית בדיוק.
זווית על קוטר
כשהמיתר הוא קוטר, המרכזית היא הזווית השטוחה 180°, ולכן כל זווית היקפית הנשענת עליו היא ½ · 180° = 90° - זווית ישרה.
משולש חסום על קוטר
משולש החסום במעגל שאחת מצלעותיו היא קוטר הוא ישר-זווית, והזווית הישרה בקודקוד שמול הקוטר. זהו יישום ישיר של הזווית על קוטר.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב לשיטה החוזרת: מזהים על איזו קשת נשענת הזווית, ומחילים היקפית = מחצית המרכזית (או ההפך). אותם כלים יעבדו בתרגול.
- זיהוי הזוויות: ∠AOB מרכזית (ראשה במרכז O) ו-∠ACB היקפית (ראשה על ההיקף), ושתיהן נשענות על אותה קשת AB.
- משפט הזווית ההיקפית: זווית היקפית שווה למחצית המרכזית על אותה קשת: ∠ACB = ½ · ∠AOB.
- הצבה: ∠ACB = ½ · 80° = 40°.
- הזווית ההיקפית היא ∠ACB = 40°.
- זיהוי: שתי הזוויות נשענות על אותה קשת AB, לכן ∠ACB = ½ · ∠AOB.
- הפיכת הכיוון: המרכזית פי שניים מההיקפית: ∠AOB = 2 · ∠ACB.
- הצבה: ∠AOB = 2 · 35° = 70°.
- הזווית המרכזית היא ∠AOB = 70°.
- זיהוי הקוטר: AB קוטר, לכן הזווית המרכזית שהוא פותח היא הזווית השטוחה 180°.
- הזווית ההיקפית על הקוטר: ∠ACB = ½ · 180° = 90°.
- המשולש ABC ישר-זווית, והזווית הישרה היא ∠C = 90° - הקודקוד שמול הקוטר.
תרגול מדורג - זווית מרכזית והיקפית
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסוד (המרה ישירה מרכזית↔היקפית); יישום (אותה קשת, זווית על קוטר וחישוב דו-שלבי); רמה מוגברת (שאלות רב-שלביות עם נימוק); ועד רמת בגרות (רצף רב-שלבי ואיתור טעות). כל השאלות מבוססות על המשפטים של כיתה יא׳ 4 יח״ל, וכל זווית יוצאת נקייה ובת-בדיקה. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "המרת זוויות" שמחשבת מרכזית↔היקפית ואת הזווית החדה במשולש על קוטר. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הכלל: היקפית = ½ · מרכזית על אותה קשת.
- 2בכיוון ההפוך: מרכזית = 2 · היקפית.
- 3אותה קשת: כל הזוויות ההיקפיות על אותה קשת שוות זו לזו.
- 4על קוטר: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90°.
- 5משולש על קוטר: אם צלע היא קוטר - המשולש ישר-זווית מול הקוטר.
| המשפט | התוצאה | לזכור |
|---|---|---|
| זווית מרכזית והיקפית | היקפית = ½ · מרכזית | על אותה קשת; מרכזית פי שניים מההיקפית |
| אותה קשת | זוויות שוות | כל ההיקפיות על אותה קשת שוות זו לזו |
| זווית על קוטר | 90° | המרכזית שטוחה 180°, וההיקפית מחציתה |
| משולש על קוטר | ישר-זווית | הזווית הישרה בקודקוד שמול הקוטר |
| שאלה רב-שלבית | סכום זוויות המשולש 180° | על קוטר: הזווית הישרה 90°, השלימו ל-180° |
