הזווית ההיקפית היא מחצית המרכזית
זווית מרכזית וזווית היקפית הנשענות על אותה קשת קשורות בכלל פשוט: היקפית = ½ · מרכזית. מכאן נובע שכל הזוויות ההיקפיות על אותה קשת שוות זו לזו, וכל זווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90°. גררו את הזווית המרכזית במעבדה וראו את ההיקפית עוקבת בדיוק על החצי.
שתי זוויות, קשת אחת. על אותה קשת אפשר לבנות שתי זוויות שונות לגמרי: זווית שקודקודה במרכז המעגל (מרכזית), וזווית שקודקודה על ההיקף (היקפית). הרעיון המרכזי של פרק המעגל: הזווית ההיקפית תמיד שווה למחצית המרכזית הנשענת על אותה קשת. זווית מרכזית של 80° תיתן היקפית של 40° - וזווית היקפית הנשענת על קוטר (מרכזית של 180°) תהיה תמיד 90°.
האנטומיה של הזוויות במעגל
שתי הזוויות נשענות על אותה קשת AB. הזווית המרכזית ∠AOB קודקודה במרכז O; הזווית ההיקפית ∠ACB קודקודה בנקודה C על ההיקף. הקשר: ∠ACB = ½ · ∠AOB. הנה המפה על דוגמה - זווית מרכזית 80° נותנת זווית היקפית 40°:
מה מרכיב את משפטי הזוויות במעגל
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בזווית המרכזית, בזווית ההיקפית ובזווית הישרה הנשענת על קוטר, בדיוק כפי שהם נדרשים בגיאומטריית המעגל ב-4 יח״ל. גררו את הזווית המרכזית במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וראו כיצד ההיקפית תמיד מחציתה.
זווית מרכזית
זווית שקודקודה במרכז המעגל, ושתי צלעותיה רדיוסים. הזווית המרכזית ∠AOB "מודדת" את הקשת AB שעליה היא נשענת - הן שוות במעלות.
זווית היקפית
זווית שקודקודה על ההיקף, ושתי צלעותיה מיתרים. הזווית ההיקפית ∠ACB נשענת על הקשת AB שאינה מכילה את הקודקוד C.
הכלל המרכזי
היקפית = ½ · מרכזית - כשהן נשענות על אותה קשת. למשל מרכזית 80° נותנת היקפית 40°; ובכיוון ההפוך, מרכזית = 2 · היקפית.
היקפיות על אותה קשת
כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו - כי כל אחת היא מחצית של אותה זווית מרכזית. אם ∠ACB ו-∠ADB נשענות על AB, אז הן שוות.
זווית הנשענת על קוטר
קוטר "פותח" זווית מרכזית של 180°, ולכן כל זווית היקפית הנשענת עליו היא ½ · 180° = 90° - זווית ישרה.
משולש חסום על קוטר
משולש החסום במעגל שאחת מצלעותיו היא קוטר הוא ישר-זווית, והזווית הישרה נמצאת בקודקוד שמול הקוטר (על ההיקף). זהו יישום ישיר של הזווית על קוטר.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון גיאומטריית המעגל ב-4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: מזהים על איזו קשת נשענת הזווית, ומחילים את הכלל היקפית = מחצית המרכזית (או ההפך).
- מזהים: שתי הזוויות נשענות על אותה קשת AB - ∠AOB מרכזית ו-∠ACB היקפית.
- מחילים את הכלל: ∠ACB = ½ · ∠AOB = ½ · 80°.
- הזווית ההיקפית היא ∠ACB = 40°.
- מזהים: שתיהן נשענות על אותה קשת AB, לכן ∠ACB = ½ · ∠AOB.
- מבודדים את המרכזית: ∠AOB = 2 · ∠ACB = 2 · 35°.
- הזווית המרכזית היא ∠AOB = 70°.
- מזהים את הקוטר: AB קוטר, לכן הזווית המרכזית שהוא פותח היא 180°.
- הזווית ההיקפית על הקוטר: ∠ACB = ½ · 180° = 90°.
- המשולש ABC ישר-זווית, והזווית הישרה היא ∠C = 90° - הקודקוד שמול הקוטר.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (המרה ישירה מרכזית↔היקפית), יישום (זוויות על אותה קשת וזווית על קוטר), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "המרת זוויות".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הכלל: היקפית = ½ · מרכזית על אותה קשת.
- 2בכיוון ההפוך: מרכזית = 2 · היקפית.
- 3אותה קשת: כל הזוויות ההיקפיות על אותה קשת שוות זו לזו.
- 4על קוטר: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90°.
- 5משולש על קוטר: אם צלע היא קוטר - המשולש ישר-זווית מול הקוטר.
