תרגול משיקים ומיתרים למעגל
כל מה שלמדנו על המעגל - המשיק המאונך לרדיוס שאורכו יוצא מפיתגורס t = d² - r², המעבר בין מרחק, רדיוס ואורך משיק, והאנך מהמרכז שחוצה את המיתר ונותן חצי מיתר = r² - h² - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב אורך משיק ישיר ועד ניתוח רב-שלבי ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את השיטה: מזהים את המשולש הישר-זווית, מסמנים מי היתר, ומפעילים פיתגורס.
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה. זכרו: המשיק מאונך לרדיוס, ולכן t = d² - r² (המרחק d הוא היתר); שני משיקים מנקודה חיצונית שווים באורכם; והאנך מהמרכז חוצה את המיתר, ולכן חצי מיתר = r² - h². השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". קודם מזהים מי היתר · ואז מפעילים פיתגורס
אותו משולש ישר-זווית, שוב ושוב. כמעט כל חישוב במעגל מסתתר במשולש ישר-זווית אחד: במשיק - הרדיוס והמשיק הם הניצבים, והמרחק לנקודה החיצונית d הוא היתר, ולכן t = d² - r². במיתר - האנך מהמרכז חוצה אותו, וחצי המיתר יחד עם מרחק המרכז הם הניצבים, והרדיוס הוא היתר. נזכיר כאן את משפטי המשיק והמיתר, ומשם לתרגול. זכרו: קודם מזהים מי היתר, ורק אז מפעילים פיתגורס.
האנטומיה של המשיק - תזכורת
נזכר שוב: בנקודת ההשקה T המשיק מאונך לרדיוס, ולכן המשולש OTP ישר-זווית ב-T. הרדיוס r והמשיק t הם הניצבים, והמרחק d מהמרכז לנקודה החיצונית P הוא היתר. מכאן t = d² - r². הנה המפה על דוגמה - מרחק d = 13, רדיוס r = 5, ואורך המשיק 13² - 5² = 144 = 12.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים ממשיקי ומיתרי המעגל של כיתה יא׳ (4 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהמשיק המאונך לרדיוס ואורכו בפיתגורס ועד האנך שחוצה את המיתר. הכרטיסייה על שני המשיקים השווים מסומנת כהעשרה - היא אינה נבחנת בתשפ״ז ואין עליה שאלות בתרגול. ואז לתרגול המדורג.
המשיק מאונך לרדיוס
המשיק למעגל נוגע בו בנקודה אחת בלבד, ובנקודת ההשקה הוא מאונך לרדיוס: משיק ⊥ רדיוס. זו הזווית הישרה שיוצרת את המשולש הישר-זווית לחישוב.
אורך המשיק - פיתגורס
במשולש OTP הישר-זווית הרדיוס r והמשיק t ניצבים, והמרחק d הוא היתר. לכן t = d² - r². למשל 13² - 5² = 12.
שני משיקים שווים העשרה · לא נבחן בתשפ״ז
מנקודה חיצונית אחת יוצאים שני משיקים, והם שווים באורכם: PT₁ = PT₂. הסיבה - שני משולשים ישרי-זווית חופפים עם אותו יתר d ואותו רדיוס.
הערה על תשפ״ז: המשפט על שני משיקים מנקודה חיצונית, וכן "משולש חוסם מעגל", אינם נלמדים ואינם נבחנים בשאלון 471 בשנת הלימודים תשפ״ז. הכרטיסייה נשארת כאן להעמקה, ואין עליה שאלות בתרגול. משפט המשיק המאונך לרדיוס, חישוב אורך המשיק והאנך למיתר נמצאים בהיקף ההיבחנות השנה, והם מה שמתרגלים כאן.
אנך ממרכז למיתר חוצה
האנך המורד מהמרכז אל מיתר חוצה את המיתר לשני חצאים שווים: חצי מיתר = ½ · מיתר. כך נוצר משולש ישר-זווית - רדיוס (יתר), חצי מיתר ומרחק המרכז מהמיתר (ניצבים).
חצי מיתר בפיתגורס
במשולש שנוצר: חצי מיתר = r² - h², כאשר h הוא מרחק המרכז מהמיתר. למשל ברדיוס 13 ומרחק 5: 169 - 25 = 12, והמיתר המלא 24.
קודם מזהים את היתר
כמעט כל חישוב במעגל עובר דרך משולש ישר-זווית. במשיק d הוא היתר; במיתר r הוא היתר. מזהים מי היתר, מפעילים פיתגורס - ומקבלים את החסר.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. השיטה קבועה: מזהים את המשולש הישר-זווית, מסמנים מי הניצבים ומי היתר, ומפעילים פיתגורס. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מזהים ישר-זווית: המשיק מאונך לרדיוס, ולכן המשולש OTP ישר-זווית ב-T, עם ניצבים r = 5 ו-t, ויתר d = 13.
- פיתגורס: t = d² - r² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144.
- אורך המשיק הוא t = 12. (שלשה 5-12-13)
- האנך חוצה: האנך מהמרכז אל המיתר חוצה אותו, ונוצר משולש ישר-זווית עם ניצבים h = 5 ו-½ · מיתר, ויתר r = 13.
- פיתגורס לחצי המיתר: ½ · מיתר = 13² - 5² = 144 = 12.
- המיתר המלא הוא 2 · 12 = 24.
- מחפשים את היתר: הפעם ידועים הרדיוס r = 8 והמשיק t = 15 (הניצבים), והמרחק d הוא היתר.
- פיתגורס: d = r² + t² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17. (שלשה 8-15-17)
- המרחק הוא d = 17. (שימו לב שהמרחק גדול מהרדיוס - כך זה תמיד בנקודה חיצונית, כי d הוא היתר.)
- העשרה, לא לבחינה: מ-P יוצא גם משיק שני, והוא שווה באורכו לראשון. המשפט הזה אינו נבחן בשאלון 471 בתשפ״ז, ולכן אין עליו שאלות בתרגול.
תרגול מדורג - משיקים ומיתרים
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: אורך משיק ישיר בפיתגורס; מרחק מהמרכז, רדיוס ואורך משיק; האנך שחוצה את המיתר; ועד ניתוח רב-שלבי, איתור טעות והבחנה בין היתר לניצבים ברמת בגרות. כל השאלות מבוססות על המשפטים של כיתה יא׳ 4 יח״ל שנמצאים בהיקף ההיבחנות של תשפ״ז, וכל האורכים יוצאים שלמים בעזרת שלשות פיתגוריות. אין כאן שאלות על שני המשיקים השווים מנקודה חיצונית - המשפט הזה אינו נבחן בתשפ״ז ונשאר בכרטיסייה שלמעלה כהעשרה בלבד. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המשיק" שמחשבת את אורך המשיק מרדיוס ומרחק נתונים. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1משיק ⊥ רדיוס: המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה - כאן נולד המשולש הישר-זווית.
- 2אורך משיק: t = d² - r² - d יתר, r ו-t ניצבים.
- 3שני משיקים שווים: מנקודה חיצונית PT₁ = PT₂. העשרה בלבד - המשפט אינו נבחן בשאלון 471 בתשפ״ז.
- 4אנך למיתר חוצה: חצי מיתר = r² - h², כאשר h מרחק המרכז מהמיתר.
- 5קודם היתר: מזהים מי היתר (במשיק d, במיתר r) - ורק אז פיתגורס.
| הכלל | מה מחשבים | דוגמה |
|---|---|---|
| משיק ⊥ רדיוס | הזווית בנקודת ההשקה ישרה | 90° |
| אורך משיק | t = d² - r² · d יתר | 13² - 5² = 12 |
| מרחק d | d = r² + t² · d יתר | 8² + 15² = 17 |
| שני משיקים (העשרה · אינו נבחן בתשפ״ז) | שווים באורכם | PT₁ = PT₂ |
| אנך למיתר | חוצה את המיתר לשני חצאים | חצי = ½ · מיתר |
| חצי מיתר | r² - h² · r יתר | 13² - 5² = 12 |
