משיק מאונך לרדיוס - ואורכו לפי פיתגורס
המשיק למעגל נוגע בו בנקודה אחת ובה הוא מאונך לרדיוס. לכן משולש המרכז-נקודת ההשקה-הנקודה החיצונית ישר-זווית, ואורך המשיק יוצא מפיתגורס: t = d² − r². משני קצות של נקודה חיצונית יוצאים שני משיקים שווים באורכם (העשרה בלבד: הנושא אינו נבחן בתשפ״ז), ואנך ממרכז למיתר חוצה אותו. גררו את הנקודה החיצונית במעבדה וראו את אורך המשיק משתנה בזמן אמת.
כמה משיקים אפשר למתוח מנקודה אחת? מנקודה על המעגל - אחד; מנקודה בתוכו - אף אחד; ומנקודה חיצונית - בדיוק שניים, והם שווים באורכם (העשרה בלבד, לא לבחינה בתשפ״ז). הסוד הוא שהמשיק תמיד מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, כך שנוצר משולש ישר-זווית שבו הרדיוס והמשיק הם הניצבים, והמרחק מהמרכז לנקודה הוא היתר. משם פיתגורס נותן מיד את אורך המשיק. בדף הזה נלמד את משפטי המשיק והמיתר, ונחשב אורכי משיקים.
האנטומיה של המשיק למעגל
בנקודת ההשקה נפגשים כמה מושגים: המרכז O, הרדיוס r לנקודת ההשקה, המשיק שנוגע בה בזווית ישרה, והנקודה החיצונית P במרחק d מהמרכז. המשולש OTP ישר-זווית ב-T, ולכן אורך המשיק הוא PT = d² − r². הנה המפה על דוגמה: מרחק d = 13 מהמרכז, רדיוס r = 5, ואורך המשיק 13² − 5² = 144 = 12:
משפטי המשיק והמיתר
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה במשיקים ובמיתרים של המעגל, בדיוק כפי שהם נדרשים בגיאומטריית המעגל ב-4 יח״ל. גררו את הנקודה החיצונית במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך אורך המשיק משתנה עם המרחק.
המשיק מאונך לרדיוס
המשיק למעגל נוגע בו בנקודה אחת בלבד, ובנקודת ההשקה הוא מאונך לרדיוס: משיק ⊥ רדיוס. זו הזווית הישרה שיוצרת את המשולש הישר-זווית לחישוב.
אורך המשיק - פיתגורס
במשולש OTP הישר-זווית: הרדיוס r והמשיק t ניצבים, והמרחק d יתר. לכן t = d² − r². למשל 13² − 5² = 12.
שני משיקים שווים העשרה · לא נבחן בתשפ״ז
מנקודה חיצונית אחת יוצאים שני משיקים, והם שווים באורכם: PT₁ = PT₂. הסיבה - שני משולשים ישרי-זווית חופפים עם אותו יתר d ואותו רדיוס.
אנך ממרכז למיתר
אנך המורד מהמרכז אל מיתר חוצה את המיתר לשני חצאים שווים: חצי מיתר = ½·מיתר. כך נוצר עוד משולש ישר-זווית - רדיוס, חצי מיתר, ומרחק המרכז מהמיתר.
מיתרים שווים = קשתות שוות
שני מיתרים שווים באורכם במעגל נשענים על קשתות שוות (ומרוחקים במידה שווה מהמרכז). זה הכלי לקשר בין אורכי מיתרים לקשתות ולזוויות מרכזיות.
המשולש הישר-זווית שבמרכז
כמעט כל חישוב במעגל עובר דרך משולש ישר-זווית: רדיוס + משיק + מרחק לנקודה, או רדיוס + חצי מיתר + מרחק למיתר. מזהים את היתר, מפעילים פיתגורס - ומקבלים את החסר.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון גיאומטריית המעגל ב-4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: מזהים את המשולש הישר-זווית, מסמנים ניצבים ויתר, ומפעילים פיתגורס.
- מזהים ישר-זווית: המשיק מאונך לרדיוס, לכן המשולש OTP ישר-זווית ב-T, עם ניצבים r = 5 ו-t, ויתר d = 13.
- פיתגורס: t = d² − r² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
- אורך המשיק הוא t = 12.
- אותו משולש ישר-זווית: ניצבים r = 6 ו-t, יתר d = 10.
- פיתגורס: t = 10² − 6² = 100 − 36 = 64.
- אורך המשיק הוא t = 8. (שלשה פיתגורית 6-8-10)
- האנך חוצה: האנך מהמרכז אל המיתר חוצה אותו, ונוצר משולש ישר-זווית: ניצבים 5 (מרחק) ו-½·מיתר, יתר r = 13.
- פיתגורס לחצי המיתר: ½·מיתר = 13² − 5² = 144 = 12.
- אורך המיתר הוא 2·12 = 24.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (אורך משיק ישיר בפיתגורס), יישום (חילוץ רדיוס או מרחק, אנך למיתר), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המשיק".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1משיק ⊥ רדיוס: המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה - כאן נולד המשולש הישר-זווית.
- 2אורך משיק: t = d² − r² - d יתר, r ו-t ניצבים.
- 3שני משיקים שווים: מנקודה חיצונית PT₁ = PT₂ - העשרה בלבד, אינו נבחן בתשפ״ז.
- 4אנך למיתר חוצה: חצי מיתר = r² − h², כאשר h מרחק המרכז מהמיתר.
- 5מיתרים שווים: נשענים על קשתות שוות ומרוחקים שווה מהמרכז.
