תרגול האינטגרל המסוים והשטח
כל מה שלמדנו על האינטגרל המסוים והשטח של 4 יח״ל, עכשיו לתרגול: מהאינטגרל המסוים ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a) - מציבים את הגבולות בפונקציה הקדומה ומחסירים - דרך השטח בין גרף לציר x, שבו מוצאים את נקודות החיתוך, מפצלים בשינוי סימן ולוקחים סכום הערכים המוחלטים, ועד השטח בין שני גרפים ∫(עליון - תחתון)dx. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מאינטגרל מסוים ישיר ועד שאלה רב-שלבית ואיתור טעות ברמת בגרות.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון - אינטגרל מסוים ישיר F(b)-F(a), שטח בין גרף לציר x (ערך מוחלט), או שטח בין שני גרפים. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". אינטגרל מסוים ∫ₐᵇf(x)dx = F(b)-F(a) · לשטח מפצלים בחיתוכים ולוקחים סכום ערכים מוחלטים · בין שני גרפים ∫(עליון - תחתון)dx
אותה שיטה, כל שטח. נתון אינטגרל מסוים כמו ∫₀²(x² - 4)dx? מוצאים פונקציה קדומה F ומחשבים F(b) - F(a). יצא שלילי? זה שטח מכוון - הגרף מתחת לציר. לשטח גאומטרי מוצאים את נקודות החיתוך, מפצלים, ולוקחים ערך מוחלט בכל קטע. בין שני גרפים משלבים ∫(עליון - תחתון)dx בין נקודות החיתוך. נרענן כאן את השיטה, ומשם לתרגול המדורג.
האנטומיה של השטח - תזכורת
נזכר במבנה: נקודות החיתוך עם הציר קובעות את הגבולות, הקטע שבו f מעל הציר תורם אינטגרל חיובי והקטע שמתחתיו תורם אינטגרל שלילי, והשטח הכולל הוא סכום הערכים המוחלטים. הנה המפה על הדוגמה f(x) = x² - 4, שחותכת את הציר ב-x = ±2 ושהשטח הכלוא בינה לבין הציר הוא 323:
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מהאינטגרל המסוים והשטח של 4 יח״ל, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהפונקציה הקדומה וכלל החזקה, דרך האינטגרל המסוים והשטח המכוון, ועד פיצול בשינוי סימן ושטח בין שני גרפים. ואז לתרגול המדורג.
הפונקציה הקדומה
פונקציה קדומה F מקיימת F'(x) = f(x). הכלל המרכזי: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c. למשל ∫(x² - 4)dx = x³/3 - 4x + c.
האינטגרל המסוים
האינטגרל המסוים הוא הפרש הפונקציה הקדומה בגבולות: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a). הקבוע c מצטמצם, ולכן אינו נדרש בחישוב מסוים.
שטח מכוון וסימן
מעל הציר x האינטגרל חיובי; מתחתיו הוא שלילי. לכן אינטגרל לבדו הוא שטח מכוון, ולא תמיד שווה לשטח הגאומטרי - שימו לב לסימן.
שטח בין גרף לציר
מוצאים את נקודות החיתוך f(x) = 0, ובכל קטע לוקחים ערך מוחלט. ל-f(x) = x² - 4: חיתוכים x = ±2, והשטח הוא |∫₋₂²(x² - 4)dx| = 323.
פיצול בשינוי סימן
אם f משנה סימן בתוך הקטע, מפצלים לתת-קטעים בנקודות החיתוך, מחשבים אינטגרל בכל תת-קטע, ולוקחים סכום הערכים המוחלטים - אחרת קטעים חיוביים ושליליים מקזזים זה את זה.
שטח בין שני גרפים
השטח בין f ל-g הוא ∫(עליון - תחתון)dx. בין g = x + 2 (עליון) ל-f = x² מ--1 עד 2: ∫₋₁²(x + 2 - x²)dx = 4.5.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: מוצאים חיתוכים, מחשבים אינטגרל בכל קטע, ולוקחים ערך מוחלט לשטח. בשטח בין שני גרפים מחשבים ∫(עליון - תחתון)dx.
- נקודות חיתוך: x² - 4 = 0 נותן x = ±2 - אלה גבולות הקטע.
- פונקציה קדומה: F(x) = x³/3 - 4x.
- אינטגרל מסוים: ∫₋₂²(x² - 4)dx = F(2) - F(-2) = (83 - 8) - (-83 + 8) = -323.
- ערך מוחלט: הגרף כולו מתחת לציר בקטע, ולכן השטח הוא |-323| = 323.
- השטח הכלוא בין f(x) = x² - 4 לציר x הוא 323 ≈ 10.67.
- מי עליון? בקטע [-1, 2] הישר g = x + 2 נמצא מעל הפרבולה f = x² (הם נחתכים ב-x = -1 וב-x = 2).
- הפרש: g - f = x + 2 - x².
- פונקציה קדומה: F(x) = x²/2 + 2x - x³/3.
- חישוב: ∫₋₁²(x + 2 - x²)dx = F(2) - F(-1) = 103 - (-76) = 4.5.
- השטח הכלוא בין שני הגרפים הוא 4.5.
- חיתוך בתוך הקטע: x² - 4 = 0 ב-x = 2 - מפצלים ל-[0, 2] ו-[2, 3].
- קטע ראשון (מתחת לציר): ∫₀²(x² - 4)dx = (83 - 8) - 0 = -163, ולכן שטח 163.
- קטע שני (מעל הציר): ∫₂³(x² - 4)dx = (9 - 12) - (83 - 8) = -3 + 163 = 73.
- סכום ערכים מוחלטים: 163 + 73 = 233.
- השטח הכולל בקטע [0, 3] הוא 233 ≈ 7.67 - לא |∫₀³| = 3, כי הפיצול חיוני.
תרגול מדורג - האינטגרל המסוים והשטח
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסוד (אינטגרל מסוים ישיר לפי כלל החזקה ואינטגרל של קבוע); יישום (שטח בין גרף לציר, חיתוכים וערך מוחלט); מוגברת (פיצול בשינוי סימן ושטח בין שני גרפים); ועד רמת בגרות - שאלה רב-שלבית ואיתור טעות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר השטח" שמחשב אינטגרל ושטח בין f = ax² + bx + c ל-g = px + q. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1פונקציה קדומה: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c.
- 2אינטגרל מסוים: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a).
- 3סימן: מעל הציר חיובי, מתחתיו שלילי - האינטגרל הוא שטח מכוון.
- 4שטח לציר: מוצאים חיתוכים, מפצלים, ולוקחים סכום הערכים המוחלטים.
- 5בין שני גרפים: ∫(עליון - תחתון)dx.
| הכלל | הניסוח | דוגמה |
|---|---|---|
| אינטגרל מסוים | ∫ₐᵇf(x)dx = F(b) - F(a) | ∫₀²3x²dx = 8 |
| שטח מכוון | מעל הציר חיובי, מתחתיו שלילי | ∫₀²(x²-4)dx = -163 |
| שטח בין גרף לציר | ערך מוחלט בכל קטע | |∫₋₂²(x²-4)dx| = 323 |
| פיצול בשינוי סימן | סכום הערכים המוחלטים | [0,3]: 163 + 73 = 233 |
| שטח בין שני גרפים | ∫(עליון - תחתון)dx | ∫₋₁²(x+2-x²)dx = 4.5 |
