השטח הכלוא בין גרף לציר
האינטגרל המסוים ∫ₐᵇ f(x)dx נותן את השטח המכוון בין הגרף לציר x. כשהפונקציה משנה סימן מפצלים בנקודות החיתוך ולוקחים ערך מוחלט בכל קטע - כך מקבלים שטח חיובי. בין שני גרפים משלבים ∫(עליון − תחתון)dx. גררו את הגבולות במעבדה וצפו בשטח הצבוע ובערכו משתנים בזמן אמת.
איך מודדים שטח מתחת לעקומה? למלבן יש נוסחה פשוטה - אבל לשטח שגבולו העליון מעוקל אין אורך אחד קבוע. הרעיון הגדול של החשבון האינטגרלי: מוצאים פונקציה קדומה F(x) שנגזרתה היא f, והאינטגרל המסוים הוא ההפרש F(b) − F(a). כשהגרף יורד מתחת לציר, האינטגרל יוצא שלילי - ולכן לשטח מפצלים בנקודות החיתוך ולוקחים ערך מוחלט. בדף הזה נחשב שטח בין גרף לציר x ובין שני גרפים.
האנטומיה של השטח
בחישוב שטח נפגשים כמה מרכיבים: נקודות החיתוך עם הציר שקובעות את הגבולות, הקטע שבו f מעל הציר (אינטגרל חיובי) והקטע שבו היא מתחתיו (אינטגרל שלילי), והשטח הכולל שהוא סכום הערכים המוחלטים. הנה המפה על הדוגמה f(x) = x² − 4, שחותכת את הציר ב-x = ±2 ושהשטח הכלוא בינה לבין הציר הוא 323:
מה מרכיב את חישוב השטח
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה באינטגרל המסוים ובחישוב שטח, בדיוק כפי שהם נדרשים בחשבון האינטגרלי ב-4 יח״ל. נסו לגרור את הגבולות במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך השטח הצבוע וערכו משתנים.
הפונקציה הקדומה
פונקציה קדומה F היא כזו ש-F'(x) = f(x). הכלל המרכזי: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c. למשל ∫(x² − 4)dx = x³/3 − 4x + c.
האינטגרל המסוים
האינטגרל המסוים הוא הפרש הפונקציה הקדומה בגבולות: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a). הקבוע c מצטמצם, ולכן לא נדרש בחישוב מסוים.
שטח מכוון וסימן
מעל הציר x האינטגרל חיובי; מתחתיו הוא שלילי. לכן אינטגרל לבדו הוא שטח מכוון, ולא תמיד שווה לשטח הגאומטרי - צריך לשים לב לסימן.
שטח בין גרף לציר
מוצאים את נקודות החיתוך f(x) = 0, ובכל קטע לוקחים ערך מוחלט. ל-f(x) = x² − 4: חיתוכים x = ±2, והשטח הוא |∫₋₂²(x² − 4)dx| = 323.
פיצול בשינוי סימן
אם f משנה סימן בתוך הקטע, מפצלים לתת-קטעים בנקודות החיתוך, מחשבים אינטגרל בכל תת-קטע, ולוקחים סכום הערכים המוחלטים - אחרת קטעים חיוביים ושליליים מקזזים זה את זה.
שטח בין שני גרפים
השטח בין f ל-g הוא ∫(עליון − תחתון)dx. בין g = x + 2 (עליון) ל-f = x² מ-−1 עד 2: ∫₋₁²(x + 2 − x²)dx = 4.5.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון החשבון האינטגרלי ב-4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: מוצאים חיתוכים, גוזרים אינטגרל בכל קטע, ולוקחים ערך מוחלט לשטח.
- נקודות חיתוך: x² − 4 = 0 נותן x = ±2 - אלה גבולות הקטע.
- פונקציה קדומה: F(x) = x³/3 − 4x.
- אינטגרל מסוים: ∫₋₂²(x² − 4)dx = F(2) − F(−2) = (83 − 8) − (−83 + 8) = −323.
- ערך מוחלט: הגרף כולו מתחת לציר בקטע, ולכן השטח הוא |−323| = 323.
- השטח הכלוא בין f(x) = x² − 4 לציר x הוא 323 ≈ 10.67.
- מי עליון? בקטע [−1, 2] הישר g = x + 2 נמצא מעל הפרבולה f = x² (הם נחתכים ב-x = −1 וב-x = 2).
- הפרש: g − f = x + 2 − x².
- פונקציה קדומה: F(x) = x²/2 + 2x − x³/3.
- חישוב: ∫₋₁²(x + 2 − x²)dx = F(2) − F(−1) = 103 − (−76) = 4.5.
- השטח הכלוא בין שני הגרפים הוא 4.5.
- חיתוך בתוך הקטע: x² − 4 = 0 ב-x = 2 - מפצלים ל-[0, 2] ו-[2, 3].
- קטע ראשון (מתחת לציר): ∫₀²(x² − 4)dx = (83 − 8) − 0 = −163, ולכן שטח 163.
- קטע שני (מעל הציר): ∫₂³(x² − 4)dx = (9 − 12) − (83 − 8) = −3 + 163 = 73.
- סכום ערכים מוחלטים: 163 + 73 = 233.
- השטח הכולל בקטע [0, 3] הוא 233 ≈ 7.67 - לא |∫₀³| = |−3| = 3, כי הפיצול חיוני.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (אינטגרל מסוים ישיר), יישום (שטח בין גרף לציר ופיצול בשינוי סימן), ורמת בגרות (שטח בין שני גרפים ושאלה רב-שלבית). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר השטח".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1פונקציה קדומה: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c.
- 2אינטגרל מסוים: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a).
- 3סימן: מעל הציר חיובי, מתחתיו שלילי - האינטגרל הוא שטח מכוון.
- 4שטח לציר: מוצאים חיתוכים, מפצלים, ולוקחים סכום הערכים המוחלטים.
- 5בין שני גרפים: ∫(עליון − תחתון)dx.
