תרגול משפט הסינוסים ושטח המקבילית
כל מה שלמדנו בדף הלימוד - היחס הקבוע asin A = bsin B = csin C = 2R, מציאת צלע בעזרת b = 2R · sin B, רדיוס המעגל החוסם, ושטח המקבילית a·b·sinα - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מהיחס הקבוע ועד שאלה רב-שלבית ואיתור טעות ברמת בגרות.
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה. זכרו: a : sinA = b : sinB = c : sinC = 2R, והצלע במונה היא תמיד זו שמול הזווית שבמכנה. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". קודם היחס הקבוע 2R · ואז מכפילים בסינוס הזווית המבוקשת
שני צעדים, בכל שאלה. משפט הסינוסים נראה כמו שלושה שברים, אבל בפועל משתמשים בו בשני צעדים בלבד: קודם מוצאים זוג מתאים - צלע והזווית שמולה - ומחשבים ממנו את המספר הקבוע 2R; ואז מכפילים אותו בסינוס של הזווית שהצלע שלה מבוקשת. אותו מספר 2R נותן בחינם גם את רדיוס המעגל החוסם. בדף הזה נחזור על הצעדים האלה עשרות פעמים, ולצידם על שטח המקבילית a·b·sinα - עד שהם יהיו אוטומטיים.
האנטומיה של משפט הסינוסים - תזכורת
נזכר שוב במפה: צלע, הזווית שמולה, והמעגל החוסם. הזוג a ו-A חייב להיות מתאים - הצלע a היא זו שמול הזווית A, ולא צלע אחרת. הנה הדוגמה שתלווה אתכם בכל שאלה: ∠A = 30° והצלע שמולה a = 5, ומכאן 5 : 0.5 = 10 = 2R, כלומר R = 5:
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל שאלת טריגונומטריה במישור של כיתה יא׳ (4 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהיחס הקבוע, דרך הצלע החסרה ורדיוס המעגל החוסם, ועד הזווית הקהה ושטח המקבילית. ואז לתרגול המדורג.
המשפט וההתאמה
במשולש ABC מתקיים asin A = bsin B = csin C = 2R. הכלל היחיד שאסור לשבור: בכל שבר, הצלע במונה היא זו שמול הזווית שבמכנה.
שני הצעדים
צעד ראשון: מזוג מתאים ידוע מחשבים את 2R. צעד שני: צלע מבוקשת = 2R · sin(הזווית שמולה). למשל ∠A = 30°, a = 5 נותן 2R = 10, ואז ∠B = 90° נותן b = 10 · 1 = 10.
רדיוס המעגל החוסם
ה-R מגיע בחינם: מחשבים את היחס a : sin A, וזהו 2R; מחלקים בשניים. בדוגמה 2R = 10 ולכן R = 5. במשולש ישר-זווית היתר הוא בדיוק קוטר המעגל החוסם.
הזווית השלישית והצלע הגדולה
סכום זוויות המשולש הוא 180°, ולכן זווית שלישית חסרה מתקבלת בחיסור. ומכאן בדיקת סבירות: מול הזווית הגדולה יושבת הצלע הגדולה. אם יצאה לכם צלע גדולה מול זווית קטנה - חזרו לחישוב.
זווית קהה - אותו סינוס
sin(180° - α) = sin α, ולכן sin150° = sin30° = 0.5. זה נוח לחישוב, אבל זו גם מלכודת: מסינוס נתון לבד אי אפשר לדעת אם הזווית חדה או קהה, וצריך נתון נוסף מהשאלה.
שטח מקבילית מול שטח משולש
שטח מקבילית = מכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית שביניהן: S = a · b · sin α.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון שאלון 35471. השיטה קבועה וחוזרת: זוג מתאים ⟵ היחס 2R ⟵ הכפלה בסינוס הזווית המבוקשת; ובשאלות שטח - זיהוי הצורה ואז הצבה.
- זוג מתאים: הצלע a = 9 נמצאת מול ∠A = 30° - זהו הזוג שממנו מחשבים.
- היחס הקבוע: 9sin30° = 90.5 = 18 = 2R.
- הצלע המבוקשת: b = 2R · sin B = 18 · sin30° = 18 · 0.5 = 9.
- 2R = 18 ו-b = 9. בדיקת סבירות: הזוויות שוות, ולכן גם הצלעות שוות - המשולש שווה-שוקיים, ואכן b = a.
- היחס הקבוע: 12sin90° = 121 = 12 = 2R.
- הרדיוס: R = 12 : 2 = 6.
- מה מיוחד כאן: a = 12 = 2R - הצלע שווה בדיוק לקוטר. זה לא מקרי: זווית היקפית בת 90° נשענת תמיד על קוטר, כפי שלמדנו בפרק המעגל.
- R = 6, והיתר a = 12 הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש הישר-זווית.
- מזהים את הנוסחה: שטח מקבילית שווה למכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית שביניהן: S = a · b · sin α.
- מטפלים בזווית הקהה: sin150° = sin(180° - 150°) = sin30° = 0.5. הסינוס של זווית קהה חיובי בדיוק כמו של המשלימה שלה.
- מציבים: S = 10 · 12 · 0.5 = 120 · 0.5.
- שטח המקבילית הוא 60. משולש עם אותן שתי צלעות ואותה זווית היה נותן ½ · 60 = 30.
תרגול מדורג - משפט הסינוסים
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: היחס הקבוע 2R ורדיוס המעגל החוסם; מציאת צלע והשלמת זווית; זווית קהה ושטח מקבילית; ועד ניתוח רב-שלבי ואיתור טעות ברמת בגרות. כל השאלות נשענות רק על מה שדף הלימוד מלמד. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר משפט הסינוסים".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1המשפט: asin A = bsin B = csin C = 2R - הצלע במונה היא זו שמול הזווית שבמכנה.
- 2שני צעדים: מזוג מתאים ⟵ 2R, ואז צלע = 2R · sin(הזווית שמולה).
- 3רדיוס המעגל החוסם: R = ½ · 2R; במשולש ישר-זווית היתר הוא הקוטר.
- 4זווית קהה: sin(180° - α) = sin α - מסינוס לבד אי אפשר להכריע בין חדה לקהה.
- 5שטח: מקבילית a · b · sin α, ומשולש בדיוק חצי מזה.
| הזווית | הסינוס | מתי זה עוזר |
|---|---|---|
| 30° | 0.5 | היחס הקבוע יוצא פי שניים מהצלע |
| 45° | ≈ 0.7071 | משולש שווה-שוקיים ישר-זווית |
| 60° | ≈ 0.8660 | משולש שווה-צלעות |
| 90° | 1 | הצלע שמולה שווה ל-2R, כלומר קוטר |
| 150° | 0.5 | זווית קהה - אותו סינוס כמו 30° |
