נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יא׳ · 4 יח״ל 4 יחידות
טריגונומטריה במישור

כל צלע חלקי הסינוס שמולה - אותו מספר

בכל משולש, אם מחלקים צלע בסינוס הזווית שמולה מקבלים תמיד את אותו מספר: asin A = bsin B = csin C = 2R, כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש. זה הכלי שמאפשר לפתור משולש שאינו ישר-זווית. במעבדה גררו את הזוויות ואת הצלע וצפו איך המשולש נע על המעגל החוסם ואיך היחס נשמר.

מעבדת משפט הסינוסים גררו את הזוויות A ו-B ואת הצלע a, וצפו ב-2R, ברדיוס R ובשאר הצלעות
a : sinA = 5 : sin30° = 10 = 2R
2R 10 R 5 הצלע b 10 הצלע c 8.66 הזווית C 60°
הזווית A (מעלות)30°
הזווית B (מעלות)90°
הצלע a (מול A)5

ומה עושים כשאין זווית ישרה? בכיתה י׳ כל חישוב טריגונומטרי נשען על משולש ישר-זווית: sin, cos ו-tan דורשים ניצבים ויתר. אבל רוב המשולשים בעולם אינם ישרי-זווית. משפט הסינוסים פותר בדיוק את זה: הוא קושר כל צלע לזווית שמולה, ועובד בכל משולש. יתרה מזו, המספר הקבוע שמתקבל אינו שרירותי - הוא 2R, קוטר המעגל החוסם את המשולש. בדף הזה נלמד את המשפט, נשתמש בו כדי למצוא צלעות, זוויות ורדיוס, ונוסיף את שטח המקבילית a·b·sinα.

מבט מקרוב

האנטומיה של משפט הסינוסים

שלושה מרכיבים נפגשים כאן: צלע, הזווית שמולה, והמעגל החוסם. הזוג a ו-A חייב להיות זוג מתאים - הצלע a היא הצלע שמול הזווית A, ולא צלע אחרת. הנה המפה על משולש שבו ∠A = 30° והצלע שמולה a = 5: מחלקים ומקבלים 5 : 0.5 = 10, וזהו בדיוק 2R, כלומר רדיוס המעגל החוסם הוא 5:

∠A = 30°, a = 5 - היחס 5 : sin30° = 10 = 2R, ולכן R = 5
30° R = 5 A B C O הצלע a = 5 (מול הזווית A) a : sinA = 5 : 0.5 = 10 = 2R
נכיר צעד אחר צעד

המשפט, השימושים והמלכודות

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בטריגונומטריה של המישור ברמת 4 יח״ל. גררו את הזוויות במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך המשולש משנה צורה בעוד היחס 2R נשאר עקבי.

1

ניסוח המשפט

במשולש ABC מתקיים asin A = bsin B = csin C = 2R, כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם. שימו לב להתאמה: בכל שבר, הצלע במונה היא הצלע שמול הזווית שבמכנה.

2

מציאת צלע

כשידועות שתי זוויות וצלע אחת, קודם משלימים את הזווית השלישית ל-180°, ואז כל צלע חסרה מתקבלת ממכפלה: b = 2R · sin B. למשל ∠A = 30°, a = 5, ∠B = 90°: היחס הוא 10, ולכן b = 10 · 1 = 10.

3

מציאת רדיוס המעגל החוסם

המשפט נותן את R בחינם: מחשבים את היחס a : sin A, וזהו 2R; מחלקים בשניים ומקבלים R. בדוגמה שלמעלה 2R = 10 ולכן R = 5. זה מחבר את הטריגונומטריה לפרק המעגל של כיתה י״א.

4

הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה

מהמשפט נובעת מסקנה שימושית לבדיקת סבירות: ככל שהזווית גדולה יותר כך גם sin שלה גדול יותר בתחום שבין 0° ל-90°, ולכן מול הזווית הגדולה יושבת הצלע הגדולה. אם קיבלתם צלע גדולה מול זווית קטנה - בדקו את החישוב.

5

שטח מקבילית

שטח מקבילית שווה למכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית שביניהן: S = a · b · sin α. למשל מקבילית שצלעותיה 6 ו-8 והזווית ביניהן 30°: S = 6 · 8 · 0.5 = 24. שימו לב שזה בדיוק פי שניים משטח המשולש עם אותם נתונים.

6

זווית קהה - אותו סינוס

מתקיים sin(180° - α) = sin α, ולכן sin150° = sin30° = 0.5. זה נוח כשמחשבים שטח או צלע במשולש קהה-זווית, אבל זו גם מלכודת: מסינוס נתון לבד אי אפשר לדעת אם הזווית חדה או קהה, ולכן צריך נתון נוסף מהשאלה.

שתי זוויות וצלע
שתי זוויות וצלע ⟵ כל שאר הצלעות ורדיוס המעגל החוסם
מקבילית
שתי צלעות סמוכות והזווית ביניהן ⟵ שטח = a·b·sinα
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון שאלון 35471. השיטה חוזרת: מזהים זוג מתאים (צלע והזווית שמולה), מחשבים את היחס הקבוע 2R, ומכפילים בסינוס של הזווית המבוקשת.

דוגמה 1∠A = 30° , a = 5 , ∠B = 90° ⟵ b = ?
  1. מזהים זוג מתאים: נתונים הצלע a = 5 והזווית שמולה ∠A = 30° - זהו הזוג שממנו נחשב את היחס.
  2. מחשבים את היחס הקבוע: asin A = 50.5 = 10. זהו 2R.
  3. מכפילים בסינוס הזווית המבוקשת: b = 2R · sin B = 10 · sin90° = 10 · 1 = 10.
  4. הצלע היא b = 10. בדיקת סבירות: ∠B היא הזווית הגדולה, ואכן b היא הצלע הגדולה.
דוגמה 2לאותו משולש ⟵ R = ? , c = ?
  1. הרדיוס: היחס שקיבלנו הוא 2R = 10, ולכן R = 10 : 2 = 5.
  2. הזווית השלישית: ∠C = 180° - 30° - 90° = 60°.
  3. הצלע השלישית: c = 2R · sin C = 10 · sin60° ≈ 10 · 0.866 = 8.66.
  4. רדיוס המעגל החוסם הוא R = 5, והצלע c ≈ 8.66. שימו לב: ∠B = 90°, ולכן b = 10 הוא בדיוק קוטר המעגל החוסם - בהתאם למשפט הזווית ההיקפית הנשענת על קוטר.
דוגמה 3מקבילית: צלעות 6 ו-8 , הזווית ביניהן 30°
  1. מזהים את הנוסחה: שטח מקבילית שווה למכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית שביניהן, כלומר S = a · b · sin α.
  2. מציבים: S = 6 · 8 · sin30° = 6 · 8 · 0.5.
  3. מחשבים: 48 · 0.5 = 24.
  4. שטח המקבילית הוא 24. אלכסון המקבילית מחלק אותה לשני משולשים חופפים, ולכן שטח כל משולש הוא ½ · 6 · 8 · sin30° = 12 - בדיוק חצי.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (חישוב היחס הקבוע ומציאת צלע), יישום (רדיוס המעגל החוסם, זווית קהה, שטח מקבילית), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית ואיתור טעות). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר משפט הסינוסים".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1משפט הסינוסים: asin A = bsin B = csin C = 2R - צלע חלקי סינוס הזווית שמולה.
  • 2צלע חסרה: מחשבים את היחס 2R מזוג מתאים, ואז b = 2R · sin B.
  • 3רדיוס המעגל החוסם: R = ½ · (a : sin A) - מגיע מהמשפט בלי עבודה נוספת.
  • 4שטח מקבילית: S = a · b · sin α - פי שניים משטח המשולש ½ · a · b · sin α.
  • 5זווית קהה: sin(180° - α) = sin α; מסינוס לבד אי אפשר להכריע בין חדה לקהה.
מפתח פתרונות (תרגול)

    גררו זוויות וצלע. המשולש נע על המעגל החוסם, והיחס נשאר אותו מספר.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי