תרגול מקומות גאומטריים
כל מה שלמדנו על מקומות גאומטריים - אנך אמצעי (שווה מרחק משני קצות קטע, PA = PB), חוצה זווית (שווה מרחק משתי שוקי הזווית), ומעגל (מרחק קבוע r ממרכז) - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מזיהוי מקום וחישוב רדיוס ועד ניתוח, איתור טעות ונימוק ברמת בגרות. זכרו את הלב של הכול: מזהים את התנאי, מתרגמים אותו למרחק, ומוצאים את המקום.
בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה לפי מקומות גאומטריים: אנך אמצעי = מקום הנקודות שוות המרחק משני קצות קטע, חוצה זווית = שוות המרחק משתי שוקי הזווית, מעגל = מרחק קבוע r ממרכז (רדיוס = r). השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". מרחק = Δx² + Δy² · על האנך האמצעי PA = PB · היקף מעגל = 2πr, שטח = πr²
אנך אמצעי, חוצה זווית או מעגל? בכל בעיית מקום גאומטרי השאלה זהה: מהי קבוצת כל הנקודות שמקיימות את התנאי? שווה מרחק משני כפרים? זהו האנך האמצעי לקטע שביניהם. שווה מרחק משתי שוקי זווית? זהו חוצה הזווית. במרחק קבוע מאנטנה אחת? זהו מעגל שרדיוסו המרחק. תמיד מתחילים באותו צעד: מזהים איזה תנאי מרחק נתון. נעבור כאן על שלושת המקומות, ומשם לתרגול המדורג.
האנטומיה של האנך האמצעי - תזכורת
נזכר שוב במבנה: האנך האמצעי לקטע AB הוא הישר המאונך לקטע ועובר דרך אמצעו, והטענה המרכזית היא שנקודה נמצאת עליו אם ורק אם היא שווה מרחק מ-A ומ-B. הנה התמונה המלאה על הקטע שקצותיו A(-3, 0) ו-B(3, 0) - שימו לב שהאנך האמצעי הוא ציר ה-y (המשוואה x = 0), וכל נקודה P עליו מקיימת PA = PB.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים ממקומות גאומטריים של 4 יח״ל, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהגדרת המקום, דרך שלושת המקומות היסודיים, ועד נוסחת המרחק וההוכחה בשני כיוונים. ואז לתרגול המדורג.
מהו מקום גאומטרי
מקום גאומטרי הוא קבוצת כל הנקודות במישור המקיימות תנאי נתון - ורק הן. לא נקודה אחת, אלא כל הנקודות שמקיימות את התנאי.
האנך האמצעי לקטע
מקום הנקודות שוות המרחק משני קצות הקטע A ו-B הוא האנך האמצעי - הישר המאונך ל-AB ועובר דרך אמצעו. לכל נקודה P עליו: PA = PB.
חוצה הזווית
מקום הנקודות שוות המרחק משתי שוקי הזווית הוא חוצה הזווית - הקרן היוצאת מהקדקוד ומחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות. לכל נקודה עליו, המרחק (האנך) לשוק אחת שווה למרחק לשנייה.
המעגל
מקום הנקודות במרחק קבוע r ממרכז O הוא מעגל שרדיוסו r. משוואתו (x - a)² + (y - b)² = r², ההיקף 2πr והשטח πr².
מרחק בין שתי נקודות
הכלי לבדיקת תנאי מרחק: PA = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)². משווים PA = PB, מעלים בריבוע, ומקבלים את משוואת האנך האמצעי.
הוכחה בשני כיוונים
כדי להוכיח שנקודה על האנך האמצעי שווה מרחק מהקצוות, מפילים אנך לאמצע הקטע. שני משולשים ישרי זווית נוצרים עם ניצב משותף וחצאי קטע שווים - לפי חפיפה (צ.ז.צ) היתרים שווים, כלומר PA = PB.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות צעד אחר צעד. השיטה קבועה: מזהים את התנאי, מתרגמים אותו למרחק, ומוצאים את המקום - מעגל, אנך אמצעי או הוכחה. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מזהים את התנאי: נקודה P(x, y) נמצאת במקום אם ורק אם מרחקה מ-O(2, 1) שווה בדיוק 3.
- מתרגמים למרחק: PO = (x - 2)² + (y - 1)² = 3.
- מעלים בריבוע: (x - 2)² + (y - 1)² = 9 - משוואת מעגל שמרכזו (2, 1) ורדיוסו 9 = 3.
- המקום הוא מעגל ברדיוס 3, היקפו 2π·3 = 6π ושטחו π·3² = 9π.
- מזהים את התנאי: נדרש PA = PB - לכן המקום הוא האנך האמצעי לקטע AB.
- מרחקים שווים: (x + 3)² + y² = (x - 3)² + y², ומעלים בריבוע.
- מפתחים: (x + 3)² = (x - 3)², כלומר x² + 6x + 9 = x² - 6x + 9, ומכאן 12x = 0.
- המקום הוא הישר x = 0 (ציר ה-y) - מאונך ל-AB ועובר דרך אמצעו (0, 0).
- נתון: P על האנך האמצעי לקטע AB, ו-M אמצע הקטע. לפי ההגדרה PM ⟂ AB.
- בונים שני משולשים: במשולשים PMA ו-PMB הצלע PM משותפת, MA = MB (M אמצע), והזוויות ב-M ישרות.
- חפיפה (צ.ז.צ): צלע-זווית-צלע נותנת שהמשולשים חופפים, ולכן היתרים שווים.
- קיבלנו PA = PB - כל נקודה על האנך האמצעי שווה מרחק מהקצוות.
תרגול מדורג - מקומות גאומטריים
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: זיהוי מקום, מרחק ורדיוס; משוואת מעגל, אמצע, היקף ושטח; תנאי מרחק ונוסחת המרחק במעורב; ועד ניתוח, איתור טעות ונימוק ברמת בגרות. כל המרחקים יוצאים שלמים (שלשות פיתגוריות), והרדיוסים והשטחים נקיים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המקום הגאומטרי". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1מקום גאומטרי: קבוצת כל הנקודות המקיימות תנאי - ורק הן.
- 2שווה מרחק משתי נקודות A, B → האנך האמצעי לקטע AB (PA = PB).
- 3שווה מרחק משתי שוקי זווית → חוצה הזווית.
- 4מרחק קבוע r ממרכז → מעגל ברדיוס r (היקף 2πr, שטח πr²).
- 5הוכחת מקום: שני כיוונים - כל נקודה על הצורה מקיימת, וכל נקודה מקיימת נמצאת על הצורה.
| התנאי | המקום | הבדיקה |
|---|---|---|
| שווה מרחק מ-A ומ-B | אנך אמצעי לקטע AB | PA = PB |
| שווה מרחק משתי שוקי זווית | חוצה הזווית | d1 = d2 |
| מרחק 3 מנקודה O(2, 1) | מעגל ברדיוס 3 | (x-2)² + (y-1)² = 9 |
| מעגל ברדיוס 5 | היקף ושטח | 2πr = 10π · πr² = 25π |
