נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יא׳ · 4 יח״ל 4 יחידות
מקומות גאומטריים

כל הנקודות שמקיימות תנאי

מקום גאומטרי הוא קבוצת כל הנקודות שמקיימות תנאי אחד. שוות מרחק משני קצות קטע? זהו האנך האמצעי. שוות מרחק משתי שוקי זווית? זהו חוצה הזווית. במרחק קבוע R ממרכז? זהו מעגל, ובמערכת צירים הוא נכתב x² + y² = R². כאן גם נחשב היקף מעגל 2πR ושטח עיגול πR². בחרו תנאי במעבדה וצפו במקום נצבע בזמן אמת.

מעבדת המקום הגאומטרי בחרו תנאי - וראו את אוסף הנקודות שמקיימות אותו
האנך האמצעי לקטע AB
תנאי שווה מרחק מ-A ומ-B המקום ישר בדיקה PA = PB
רדיוס r3
מרחק בין הנקודות / פתיחת הזווית6

איפה בדיוק לחפור? שני כפרים רוצים לבנות באר שתהיה במרחק שווה משניהם - כל הנקודות המתאימות יושבות על קו אחד: האנך האמצעי לקטע שבין הכפרים. גשש שמאתר עצם במרחק קבוע מאנטנה מסמן מעגל. בכל בעיה כזאת השאלה זהה: מהי קבוצת כל הנקודות שמקיימות את התנאי? זה בדיוק מקום גאומטרי.

מבט מקרוב

האנטומיה של האנך האמצעי

האנך האמצעי לקטע AB הוא הישר שמאונך לקטע ועובר דרך אמצעו. הטענה המרכזית: נקודה נמצאת עליו אם ורק אם היא שווה מרחק מ-A ומ-B. הנה המפה המלאה על הקטע שקצותיו A(-3, 0) ו-B(3, 0):

האנך האמצעי לקטע A(-3, 0), B(3, 0) - כל נקודה עליו שווה מרחק מהקצוות
y x A(-3, 0) B(3, 0) אמצע (0,0) P(0, 4) PA PB האנך האמצעי: x = 0 כל נקודה עליו: PA = PB
נכיר צעד אחר צעד

שלושת המקומות הגאומטריים היסודיים

כמעט כל בעיית מקום גאומטרי ב-4 יח״ל נשענת על אחד משלושה מקומות בסיסיים. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את התנאי תוך כדי קריאה, וצפו איך המקום משתנה.

1

מהו מקום גאומטרי

מקום גאומטרי הוא קבוצת כל הנקודות במישור המקיימות תנאי נתון - ורק הן. כדי להוכיח שצורה מסוימת היא המקום, מראים שני כיוונים: כל נקודה על הצורה מקיימת את התנאי, וכל נקודה שמקיימת את התנאי נמצאת על הצורה. כך, למשל, מפילים אנך לאמצע הקטע ומקבלים שני משולשים ישרי זווית חופפים (צ.ז.צ), ומכאן PA = PB.

2

האנך האמצעי לקטע

מקום הנקודות שוות המרחק משני קצות הקטע A ו-B הוא האנך האמצעי לקטע - הישר המאונך ל-AB ועובר דרך אמצעו. לכל נקודה P עליו מתקיים PA = PB.

3

חוצה הזווית

מקום הנקודות שוות המרחק משתי שוקי הזווית הוא חוצה הזווית - הקרן היוצאת מהקדקוד ומחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות. לכל נקודה עליו, המרחק (האנך) לשוק אחת שווה למרחק לשוק השנייה. הערה: משפט חוצה הזווית והמשפט ההפוך אינם נלמדים ואינם נבחנים בתשפ״ז.

4

המעגל

מקום הנקודות במרחק קבוע R ממרכז O הוא מעגל שרדיוסו R. לדוגמה: מקום הנקודות במרחק 3 מנקודה נתונה הוא מעגל ברדיוס 3. היקף מעגל 2πR, שטח עיגול πR². שימו לב להבחנה: מעגל הוא הקו עצמו, עיגול הוא הקו והשטח שבתוכו.

5

מרחק בין שתי נקודות

הכלי המרכזי לבדיקת תנאי מרחק במערכת צירים: PA = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)². משווים PA = PB, מעלים בריבוע, ומקבלים את משוואת האנך האמצעי.

6

המשוואה הקנונית של המעגל

מתרגמים את התנאי "מרחק R מהראשית" לשפת הצירים: x² + y² = R, ובריבוע מקבלים את המשוואה הקנונית x² + y² = R². אם המרכז אינו בראשית אלא ב-(a, b), אותו חישוב נותן (x - a)² + (y - b)² = R².

אנך אמצעי
אנך אמצעי - שווה מרחק משתי נקודות
מעגל
מעגל - מרחק קבוע ממרכז אחד
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 4 יח״ל. שימו לב לשיטה: מזהים את התנאי, מתרגמים אותו למרחק, ומוצאים את המקום.

דוגמה 1מקום הנקודות במרחק 3 מהנקודה O(2, 1)
  1. מזהים את התנאי: נקודה P(x, y) נמצאת במקום אם ורק אם מרחקה מ-O(2, 1) שווה בדיוק 3.
  2. מתרגמים למרחק: PO = (x - 2)² + (y - 1)² = 3.
  3. מעלים בריבוע: (x - 2)² + (y - 1)² = 9 - זו משוואת מעגל שמרכזו (2, 1) ורדיוסו 9 = 3.
  4. המקום הוא מעגל ברדיוס 3, היקפו 2π·3 = 6π ושטחו π·3² = 9π.
דוגמה 2מקום הנקודות שוות המרחק מ-A(-3, 0) ו-B(3, 0)
  1. מזהים את התנאי: נדרש PA = PB - לכן המקום הוא האנך האמצעי לקטע AB.
  2. מרחקים שווים: (x + 3)² + y² = (x - 3)² + y², ומעלים בריבוע.
  3. מפתחים: (x + 3)² = (x - 3)², כלומר x² + 6x + 9 = x² - 6x + 9, ומכאן 12x = 0.
  4. המקום הוא הישר x = 0 (ציר ה-y) - הוא אכן מאונך ל-AB ועובר דרך אמצעו (0, 0).
דוגמה 3הוכחה: נקודה על חוצה הזווית שווה מרחק משתי השוקיים
  1. נתון: הקרן OP חוצה את הזווית שבין השוקיים, ו-P נקודה עליה. מפילים ממנה אנכים PM ו-PN לשתי השוקיים.
  2. בונים שני משולשים: במשולשים OPM ו-OPN הזוויות בקדקוד שוות (חוצה זווית), הזוויות הישרות שוות, ו-OP משותף.
  3. חפיפה: לפי ז.ז.צ המשולשים חופפים, ולכן הצלעות הנגדיות PM = PN.
  4. קיבלנו PM = PN - כלומר P שווה מרחק משתי השוקיים. זו בדיוק תכונת חוצה הזווית.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (זיהוי מקום, מרחק, רדיוס), יישום (משוואת אנך אמצעי, היקף ושטח, בעיות מילוליות), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק והוכחה). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המקום הגאומטרי".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1מקום גאומטרי: קבוצת כל הנקודות המקיימות תנאי - ורק הן.
  • 2שווה מרחק משתי נקודות A, B → האנך האמצעי לקטע AB.
  • 3שווה מרחק משתי שוקי זווית → חוצה הזווית.
  • 4מרחק קבוע r ממרכז → מעגל ברדיוס r (היקף 2πr, שטח πr²).
  • 5משוואה קנונית: מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו R נכתב x² + y² = R²; מרכז (a, b) נותן (x - a)² + (y - b)² = R².
  • 6הוכחת מקום: שני כיוונים - כל נקודה על הצורה מקיימת, וכל נקודה מקיימת נמצאת על הצורה.
מפתח פתרונות (תרגול)

    בחרו תנאי במעבדה וראו את אוסף הנקודות שמקיים אותו נצבע לנגד עיניכם.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי