תרגול ציון התקן z וההחלק היחסי
כל מה שלמדנו על עקומת הפעמון - ציון התקן z = (x - μ)/σ, קריאת האחוז שמתחת ל-z מהטבלה, כלל 68-95-99.7, אחוז בטווח והמעבר ההפוך x = μ + z·σ - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב z ישיר ועד שאלה רב-שלבית ואיתור טעות ברמת בגרות.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון. השיטה קבועה: מחשבים את ציון התקן z = (x - μ)/σ, קוראים מהטבלה או מכלל 68-95-99.7 את האחוז שמתחת ל-z, ולמעבר ההפוך משתמשים ב-x = μ + z·σ. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". ציון תקן · אחוז שמתחת · אחוז בטווח · מעבר לערך
כמה טוב הוא ציון 78? לבד אי אפשר לדעת - הכול תלוי בממוצע ובפיזור. בכיתה עם μ = 70 ו-σ = 8, ציון 78 נמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע: ציון התקן שלו הוא z = 1, וכ-84% מהתלמידים מתחתיו. זה כל הרעיון: z = (x - μ)/σ הופך כל ערך גולמי לשפה אחת - סטיות תקן - שממנה קוראים החלק היחסי. נזכיר כאן את השיטה, ואז לתרגול המדורג. זכרו: קודם z, ואז האחוז שמתחתיו.
האנטומיה של עקומת הפעמון - תזכורת
נזכר שוב בתמונה: העקומה הנורמלית סימטרית סביב הממוצע μ, ורוחבה נקבע על ידי σ. השטח שמשמאל לערך הוא האחוז שמתחתיו - החלק היחסי. הנה המפה על הדוגמה μ = 70, σ = 8, שם ציון 78 הוא z = 1 וכ-84% מתחתיו - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל שאלת התפלגות נורמלית של כיתה יא׳ (4 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מציון התקן, דרך הטבלה וכלל 68-95-99.7, ועד אחוז בטווח והמעבר מהחלק היחסי לערך. ואז לתרגול המדורג.
ציון התקן z
ציון התקן מודד כמה סטיות תקן ערך רחוק מהממוצע: z = (x - μ)/σ. ערך מעל הממוצע נותן z חיובי, ערך מתחתיו נותן z שלילי, והממוצע עצמו נותן z = 0.
הטבלה הסטנדרטית
הטבלה מחזירה לכל z את האחוז שמתחתיו (השטח משמאל). למשל: z = 1 נותן כ-84%, ו-z = 2 נותן כ-97.5%.
כלל 68-95-99.7
בהתפלגות נורמלית כ-68% מהערכים נמצאים במרחק σ אחד מהממוצע, כ-95% במרחק 2σ, וכ-99.7% במרחק 3σ.
סימטריה
העקומה סימטרית סביב μ, ולכן z = -1 ו-z = 1 מרוחקים שווה. מכאן: מתחת ל-z = -1 יש כ-16% (כלומר 100 - 84), ומתחת ל-z = -2 כ-2.5%.
אחוז בין שני ערכים
האחוז בטווח הוא הפרש ההחלק היחסי בקצותיו. בין z = -1 ל-z = 1 נמצאים כ-68%, ובין z = -2 ל-z = 2 כ-95%.
מהחלק היחסי לערך
הכיוון ההפוך: מהחלק היחסי מוצאים את z, ואז x = μ + z·σ. הערך שמתחתיו כ-97.5% נותן z = 2; ל-μ = 70, σ = 8 יוצא x = 70 + 2·8 = 86.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, על התפלגות ציונים עם μ = 70, σ = 8. השיטה קבועה וחוזרת על עצמה: מחשבים z = (x - μ)/σ, וקוראים מהטבלה או מכלל 68-95-99.7 את האחוז שמתחתיו. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מחשבים את ציון התקן: z = (78 - 70)/8 = 88 = 1.
- קוראים מהטבלה: עבור z = 1 האחוז שמתחתיו הוא כ-84%.
- ציון 78 נמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע - z = 1, וכ-84% מהתלמידים מתחתיו.
- ציון התקן של 62: z = (62 - 70)/8 = -88 = -1.
- ציון התקן של 78: z = (78 - 70)/8 = 1.
- כלל 68-95-99.7: בין z = -1 ל-z = 1 - במרחק σ אחד משני הצדדים - נמצאים כ-68%.
- כ-68% מהתלמידים קיבלו ציון בין 62 ל-78.
- מהחלק היחסי ל-z: חלק יחסי של כ-97.5% מתאים ל-z = 2 בטבלה.
- מ-z לערך: x = μ + z·σ = 70 + 2·8.
- מחשבים: x = 70 + 16 = 86.
- הציון שמתחתיו כ-97.5% מהתלמידים הוא 86 - שתי סטיות תקן מעל הממוצע.
תרגול מדורג - ההתפלגות הנורמלית
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: חישוב z ישיר; חלק יחסי, אחוז בטווח וכלל 68-95-99.7; מעבר מהחלק היחסי לערך והשוואה; ועד שאלה רב-שלבית ואיתור טעות ברמת בגרות. כל האחוזים בתרגול מגיעים מאותם עוגנים שבדף הלימוד (z = 0, ±1, ±2 וכלל 68-95-99.7), וה-z יוצאים נקיים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר ציון התקן". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1ציון התקן: z = (x - μ)/σ - כמה סטיות תקן מהממוצע.
- 2הטבלה: מחזירה לכל z את האחוז שמתחתיו. למשל: z = 1 כ-84%, z = 2 כ-97.5%.
- 3כלל 68-95-99.7: במרחק σ, 2σ, 3σ מהממוצע - 68%, 95%, 99.7%.
- 4אחוז בטווח: הפרש ההחלק היחסי בין קצות הטווח.
- 5מהחלק היחסי לערך: x = μ + z·σ.
