ציון תקן z ופענוח פעמון ההתפלגות
בהתפלגות נורמלית כל ערך x מתורגם לציון תקן z = (x − μ)/σ - כמה סטיות תקן הוא רחוק מהממוצע. עם טבלת ההתפלגות הסטנדרטית וכלל 68-95-99.7 קוראים מכל z את האחוז שמתחתיו. גררו את הסמן במעבדה וראו את ה-z, השטח המוצלל והחלק היחסי משתנים בזמן אמת.
כמה טוב הוא ציון 78? לבד אי אפשר לדעת - תלוי בממוצע ובפיזור. בכיתה עם ממוצע μ = 70 וסטיית תקן σ = 8, ציון 78 נמצא בדיוק סטיית תקן אחת מעל הממוצע: ציון התקן שלו הוא z = 1, וכ-84% מהתלמידים מתחתיו. זה כוחה של ההתפלגות הנורמלית: z = (x − μ)/σ הופך כל ערך גולמי לשפה אחת - סטיות תקן - שממנה קוראים החלק היחסי בטבלה אחת.
האנטומיה של עקומת הפעמון
העקומה הנורמלית סימטרית סביב הממוצע μ, ורוחבה נקבע על ידי סטיית התקן σ. השטח שמתחת לעקומה שווה ל-100%, והשטח שמשמאל לערך מסוים הוא האחוז שמתחתיו - החלק היחסי. הנה המפה על הדוגמה μ = 70, σ = 8, שם ציון 78 הוא z = 1 וכ-84% מתחתיו:
מה מרכיב את ההתפלגות הנורמלית
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בציון התקן, בטבלה הסטנדרטית ובכלל 68-95-99.7, בדיוק כפי שהם נדרשים בסטטיסטיקה של 4 יח״ל. גררו את הסמן במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך ה-z והחלק היחסי משתנים.
ציון התקן z
ציון התקן מודד כמה סטיות תקן ערך רחוק מהממוצע: z = (x − μ)/σ. ערך מעל הממוצע נותן z חיובי, ערך מתחתיו נותן z שלילי, והממוצע עצמו נותן z = 0.
הטבלה הסטנדרטית
הטבלה מחזירה לכל z את האחוז שמתחתיו (השטח משמאל). למשל z = 1 נותן כ-84%, ו-z = 2 נותן כ-97.5%.
כלל 68-95-99.7
בהתפלגות נורמלית כ-68% מהערכים נמצאים במרחק σ אחד מהממוצע, כ-95% במרחק 2σ, וכ-99.7% במרחק 3σ.
סימטריה
העקומה סימטרית סביב μ, ולכן z = −1 ו-z = 1 מרוחקים שווה. ל-μ = 70, σ = 8: ציון 62 הוא z = −1 וציון 78 הוא z = 1.
אחוז בין שני ערכים
האחוז בטווח הוא הפרש ההחלק היחסי בקצותיו. בין z = −1 ל-z = 1 - כלומר בין 62 ל-78 - נמצאים כ-68% מהתלמידים.
מהחלק היחסי לערך
הכיוון ההפוך: מהחלק היחסי מוצאים את z בטבלה, ואז x = μ + z·σ. הציון שמתחתיו כ-97.5% נותן z = 2, ולכן x = 70 + 2·8 = 86.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, על התפלגות ציונים עם μ = 70, σ = 8. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: מחשבים z = (x − μ)/σ, וקוראים מהטבלה או מכלל 68-95-99.7 את האחוז שמתחתיו.
- מחשבים את ציון התקן: z = (78 − 70)/8 = 88 = 1.
- קוראים מהטבלה: עבור z = 1 האחוז שמתחתיו הוא כ-84%.
- ציון 78 נמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע - z = 1, וכ-84% מהתלמידים מתחתיו.
- ציון התקן של 62: z = (62 − 70)/8 = −88 = −1.
- ציון התקן של 78: z = (78 − 70)/8 = 1.
- כלל 68-95-99.7: בין z = −1 ל-z = 1 - במרחק σ אחד משני הצדדים - נמצאים כ-68%.
- כ-68% מהתלמידים קיבלו ציון בין 62 ל-78.
- מהחלק היחסי ל-z: חלק יחסי של כ-97.5% מתאים ל-z = 2 בטבלה הסטנדרטית.
- מ-z לערך: x = μ + z·σ = 70 + 2·8.
- מחשבים: x = 70 + 16 = 86.
- הציון שמתחתיו כ-97.5% מהתלמידים הוא 86 - שתי סטיות תקן מעל הממוצע.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (חישוב z ישיר), יישום (חלק יחסי, אחוז בטווח, וכלל 68-95-99.7), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית ומעבר מהחלק היחסי לערך). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר ציון התקן".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1ציון התקן: z = (x − μ)/σ - כמה סטיות תקן מהממוצע.
- 2הטבלה הסטנדרטית: מחזירה לכל z את האחוז שמתחתיו (השטח משמאל).
- 3כלל 68-95-99.7: במרחק σ, 2σ, 3σ מהממוצע - 68%, 95%, 99.7%.
- 4אחוז בטווח: הפרש ההחלק היחסי בין קצות הטווח.
- 5מהחלק היחסי לערך: x = μ + z·σ.
