תרגול בעיות קיצון עם הנגזרת
כל מה שלמדנו על בעיות קיצון של 4 יח״ל, עכשיו לתרגול: בונים פונקציית מטרה מתוך בעיה מילולית - היקף מלבן ששטחו נתון P(x) = 2x + 200/x, או שטח של מלבן שהיקפו נתון S(x) = 20x - x² - גוזרים, מאפסים את הנגזרת P'(x) = 0, ומוצאים את הקיצון. את האיבר a/x = a·x-1 גוזרים לפי כלל החזקה. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מבניית מטרה וגזירה ועד שאלה רב-שלבית ואיתור טעות ברמת בגרות.
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה - פונקציית המטרה, הנגזרת, הצלע שנותנת קיצון, ההיקף המינימלי או השטח המקסימלי. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". מטרה P(x) = 2x + 200/x · נגזרת 2 - 200/x² · איפוס P'(x) = 0 · קיצון כשהצלעות שוות
אותה שיטה, כל בעיה. מבין כל המלבנים ששטחם 100 - לאיזה יש ההיקף הקטן ביותר? בונים פונקציית מטרה: אם צלע אחת היא x אז השנייה היא 100/x, ולכן P(x) = 2x + 200/x. גוזרים, מאפסים P'(x) = 2 - 200/x² = 0, ומקבלים x = 10 - הריבוע 10×10 עם היקף 40. נרענן כאן את השיטה - מטרה, נגזרת, איפוס - ומשם לתרגול המדורג.
האנטומיה של בעיית קיצון - תזכורת
נזכר שוב מאילו חלקים בנויה כל בעיית קיצון: המשתנה החופשי x, אילוץ שמקשר בין הגדלים (כאן שטח = 100), פונקציית המטרה שממזערים או ממקסמים, והנגזרת שמאפסים כדי למצוא את הקיצון. הנה המפה על דוגמה - היקף מינימלי של מלבן ששטחו 100, שמתקבל בריבוע 10×10 עם היקף 40.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה שלבים מבעיות הקיצון של 4 יח״ל, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהאילוץ ובניית פונקציית המטרה, דרך הגזירה והאיפוס, ועד מבחן הנגזרת הראשונה למיון מקסימום/מינימום. ואז לתרגול המדורג.
המשתנה והאילוץ
בוחרים משתנה x ומשתמשים באילוץ כדי לבטא את שאר הגדלים בעזרתו. אם שטח המלבן קבוע = 100 וצלע אחת היא x, אז השנייה היא 100/x.
פונקציית המטרה
בונים את הגודל שרוצים למזער או למקסם כפונקציה של x בלבד. ההיקף הוא P(x) = 2x + 200/x, והשטח של מלבן שהיקפו 40 הוא S(x) = 20x - x².
גוזרים את המטרה
גוזרים את פונקציית המטרה. את האיבר 200/x = 200·x-1 גוזרים לפי כלל החזקה: -200·x-2 = -200/x². לכן P'(x) = 2 - 200/x².
מאפסים את הנגזרת
הקיצון מתקבל היכן ש-P'(x) = 0. פותרים 2 - 200/x² = 0, כלומר x² = 100, ומכיוון ש-x > 0 מקבלים x = 10.
מקסימום או מינימום?
בודקים סימן של P' משני צדי הנקודה: אם הנגזרת עוברת ממינוס לפלוס - יורד ואז עולה - זהו מינימום; מפלוס למינוס - מקסימום. עבור השטח 100 מתקבל מינימום P(10) = 40.
עונים על הנשאל
שימו לב מה מבקשים: לפעמים את הצלע x, ולפעמים את ההיקף או השטח בקיצון. מציבים את x בחזרה בפונקציית המטרה כדי לקבל את הערך הקיצוני עצמו.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בעיות הקיצון של 4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: בונים פונקציית מטרה, גוזרים, מאפסים את הנגזרת, בודקים מקסימום/מינימום, ועונים על מה שנשאל.
- אילוץ ופונקציית מטרה: צלע אחת x, השנייה 100/x, ולכן ההיקף P(x) = 2x + 200/x.
- גוזרים: P'(x) = 2 - 200/x² (את 200/x = 200·x-1 גוזרים לפי כלל החזקה).
- מאפסים: 2 - 200/x² = 0 נותן x² = 100, ומכיוון ש-x > 0 מקבלים x = 10.
- הריבוע 10×10, וההיקף המינימלי הוא P(10) = 40.
- אילוץ ופונקציית מטרה: ההיקף 40, ולכן סכום האורך והרוחב 20. אם צלע אחת היא x אז השנייה 20 - x, והשטח S(x) = x(20 - x) = 20x - x².
- גוזרים ומאפסים: S'(x) = 20 - 2x = 0 נותן x = 10, ולכן גם הצלע השנייה 20 - 10 = 10.
- מקסימום: S' עובר מפלוס למינוס סביב x = 10 - עולה ואז יורד, כלומר מקסימום.
- הריבוע 10×10, והשטח המקסימלי 100.
- פונקציית מטרה: צלעות x ו-36/x, ולכן P(x) = 2x + 72/x.
- גוזרים ומאפסים: P'(x) = 2 - 72/x² = 0 נותן x² = 36, כלומר x = 6.
- בדיקת מינימום: לפני x = 6 הנגזרת שלילית ואחריה חיובית - מינימום.
- הריבוע 6×6 נותן היקף מינימלי P(6) = 24.
תרגול מדורג - בעיות קיצון
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסוד (בניית פונקציית מטרה וגזירתה); יישום (איפוס הנגזרת ומציאת הקיצון); מוגברת (בעיות קיצון מעורבות - היקף ושטח); ועד רמת בגרות (שאלה רב-שלבית מלאה ואיתור טעות). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הקיצון" שבונה את פונקציית המטרה, גוזר, מאפס ומוצא את הקיצון עבורכם. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1אילוץ: מבטאים את כל הגדלים במשתנה אחד x.
- 2פונקציית מטרה: בונים את הגודל שממזערים/ממקסמים, למשל P(x) = 2x + 200/x.
- 3גוזרים: את a/x = a·x-1 גוזרים לפי כלל החזקה: -a/x².
- 4מאפסים: הקיצון היכן ש-P'(x) = 0.
- 5מקסימום/מינימום ותשובה: בודקים את סימן P' משני צדי הנקודה, ומציבים חזרה כדי לענות על הנשאל.
| הבעיה | פונקציית מטרה | איפוס הנגזרת | הקיצון |
|---|---|---|---|
| מלבן, שטח A, היקף מינימלי | P(x) = 2x + 2A/x | 2 - 2A/x² = 0 | x = A (ריבוע) |
| מלבן, חצי היקף T, שטח מקסימלי | S(x) = Tx - x² | T - 2x = 0 | x = T/2 (ריבוע) |
| שטח 100 | 2x + 200/x | x² = 100 | x = 10 , היקף 40 |
| היקף 40 | 20x - x² | 20 - 2x = 0 | x = 10 , שטח 100 |
