למצוא את הערך הקיצוני עם הנגזרת
בבעיית קיצון בונים פונקציית מטרה - היקף, שטח או אורך - גוזרים אותה, ומאפסים את הנגזרת f'(x) = 0 כדי למצוא את המקסימום או המינימום. גררו את הצלע במעבדה וראו את פונקציית ההיקף P(x) = 2x + 200/x יורדת אל המינימום שלה בדיוק ב-x = 10.
מבין כל המלבנים ששטחם 100 - לאיזה יש ההיקף הקטן ביותר? אפשר לנחש שהתשובה היא ריבוע, אבל בעיית קיצון נותנת הוכחה מסודרת. בונים פונקציית מטרה להיקף: אם צלע אחת היא x אז השנייה היא 100/x, ולכן P(x) = 2x + 200/x. גוזרים, מאפסים P'(x) = 2 - 200/x² = 0 ומקבלים x = 10 - הריבוע 10×10 עם היקף 40. זו כל השיטה: מטרה, נגזרת, איפוס.
האנטומיה של בעיית קיצון
כל בעיית קיצון מורכבת מאותם חלקים: המשתנה החופשי x, אילוץ שמקשר בין הגדלים (כאן שטח = 100), פונקציית המטרה שרוצים למזער או למקסם, והנגזרת שמאפסים כדי למצוא את הקיצון. הנה המפה על דוגמה - היקף מינימלי של מלבן ששטחו 100, שמתקבל בריבוע 10×10:
איך פותרים בעיית קיצון
שישה שלבים שנותנים שיטה קבועה לכל בעיית קיצון ב-4 יח״ל. נסו לגרור את הצלע במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך פונקציית המטרה P(x) יורדת אל המינימום שלה.
המשתנה והאילוץ
בוחרים משתנה x ומשתמשים באילוץ כדי לבטא את שאר הגדלים בעזרתו. אם שטח המלבן קבוע = 100 וצלע אחת היא x, אז השנייה היא 100/x.
היקף ההיבחנות בתשפ״ז: בכיתה י״א של תשפ״ז בעיות קיצון כלכליות, בעיות מספרים ובעיות במרחב (גופים) אינן נלמדות, ובשאלון 471 של תשפ״ז אין אותן. בעיות קיצון עם פונקציית שורש לומדים כבר בכיתה י׳, ובשאלון 471 של תשפ״ז הן אינן נבחנות. מי שרוצה להעמיק יכול לפתור את כולן.
פונקציית המטרה
בונים את הגודל שרוצים למזער או למקסם כפונקציה של x בלבד. ההיקף הוא P(x) = 2x + 200/x - מחברים שתי צלעות x ושתי צלעות 100/x.
גוזרים את המטרה
גוזרים את פונקציית המטרה. את האיבר 200/x = 200x⁻¹ גוזרים לפי כלל החזקה: -200x⁻² = -200/x². לכן P'(x) = 2 - 200/x².
מאפסים את הנגזרת
הקיצון מתקבל היכן ש-f'(x) = 0. פותרים 2 - 200/x² = 0, כלומר x² = 100, ומכיוון ש-x > 0 מקבלים x = 10.
מקסימום או מינימום?
בודקים סימן של f' משני צדי הנקודה: לפני x = 10 הנגזרת שלילית (יורד) ואחריה חיובית (עולה) - ולכן זהו מינימום. ההיקף המינימלי הוא P(10) = 40.
תחום פתוח או סגור
בתחום סגור בודקים גם את הקצוות; בתחום פתוח מספיקה נקודת ה-f'(x) = 0. השיטה עובדת לכל בעיה גאומטרית במישור ולכל בעיה על גרף.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בעיות הקיצון ב-4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: בונים פונקציית מטרה, גוזרים, מאפסים את הנגזרת, ובודקים אם זה מקסימום או מינימום.
- אילוץ ופונקציית מטרה: צלע אחת x, השנייה 100/x, ולכן ההיקף P(x) = 2x + 200/x.
- גוזרים: P'(x) = 2 - 200/x² (את 200/x = 200x⁻¹ גוזרים לפי כלל החזקה).
- מאפסים: 2 - 200/x² = 0 נותן x² = 100, ומכיוון ש-x > 0 מקבלים x = 10.
- המלבן הוא הריבוע 10×10, וההיקף המינימלי הוא P(10) = 40.
- אילוץ ופונקציית מטרה: ההיקף 40, ולכן סכום האורך והרוחב הוא 20. אם צלע אחת היא x אז השנייה 20 - x, והשטח S(x) = x(20 - x) = 20x - x².
- גוזרים: S'(x) = 20 - 2x.
- מאפסים: 20 - 2x = 0 נותן x = 10, ולכן גם הצלע השנייה היא 20 - 10 = 10.
- מקסימום: לפני x = 10 הנגזרת חיובית ואחריה שלילית - עולה ואז יורד.
- המלבן הוא הריבוע 10×10, והשטח המקסימלי הוא 100.
- פונקציית מטרה: צלעות x ו-36/x, ולכן P(x) = 2x + 72/x.
- גוזרים ומאפסים: P'(x) = 2 - 72/x² = 0 נותן x² = 36, כלומר x = 6.
- בדיקת מינימום: לפני x = 6 הנגזרת שלילית ואחריה חיובית - מינימום.
- הריבוע 6×6 נותן את ההיקף המינימלי P(6) = 24.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (בניית פונקציית מטרה וגזירתה), יישום (איפוס הנגזרת ומציאת הקיצון), ורמת בגרות (בעיה רב-שלבית מלאה). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הקיצון".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1אילוץ: מבטאים את כל הגדלים במשתנה אחד x.
- 2פונקציית מטרה: בונים את הגודל שממזערים/ממקסמים, למשל P(x) = 2x + 200/x.
- 3גוזרים: את a/x = a·x⁻¹ גוזרים לפי כלל החזקה.
- 4מאפסים: הקיצון היכן ש-f'(x) = 0.
- 5מקסימום/מינימום: בודקים את סימן f' משני צדי הנקודה (ובתחום סגור גם את הקצוות).
- 6היקף תשפ״ז: בשאלון 471 של תשפ״ז אין בעיות קיצון כלכליות, מספריות או במרחב, ואין בעיות קיצון עם שורש (אותן לומדים בכיתה י׳).
