נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יא׳ · 4 יח״ל 4 יחידות
סטטיסטיקה

ישר הרגרסיה ומקדם המתאם

כשיש שני נתונים מספריים לכל פרט - למשל שעות לימוד וציון - מציירים דיאגרמת פיזור, ודרכה מותחים את ישר הרגרסיה y = a + bx כדי לנבא. מקדם המתאם r (תמיד בין -1 ל-1) מודד עד כמה הקשר ליניארי וחזק, ומתוכו בונים את הישר ישירות מהממוצעים ומסטיות התקן: y - ȳ = r·SYSX·(x - x̄). גררו נקודות במעבדה וראו איך הישר ו-r משתנים בזמן אמת.

מעבדת הרגרסיה גררו נקודות וצפו בישר הרגרסיה ובמקדם המתאם r
ישר רגרסיה: y = a + bx
מקדם המתאם r = 0.90 ישר הרגרסיה y = 5 + 2x מספר נקודות 7
פיזור הנקודותבינוני

האם יש קשר בין שני גדלים? ככל שלומדים יותר שעות - האם הציון עולה? במקום להסתמך על תחושה, אוספים זוגות נתונים (x, y), מציירים אותם כדיאגרמת פיזור, ומותחים את ישר הרגרסיה y = a + bx שהכי מתאים לאוסף הנקודות. מקדם המתאם r מספר לנו בכמה מספר יחיד עד כמה הקשר ליניארי: קרוב ל-1 קשר חיובי חזק, קרוב ל--1 שלילי חזק, קרוב ל-0 אין קשר ליניארי. בדף הזה נלמד לקרוא דיאגרמת פיזור, לבנות גרף ממוצעים, לפרש את r לפי סולם העוצמה, לבנות את ישר הרגרסיה מהממוצעים ומסטיות התקן, ולנבא איתו - ולדעת מתי אסור.

מבט מקרוב

האנטומיה של דיאגרמת הפיזור

בדיאגרמת פיזור אחת נפגשים כמה מושגים: כל (x, y) הוא פרט אחד באוכלוסייה, ישר הרגרסיה y = a + bx עובר "באמצע" אוסף הנקודות ותמיד דרך נקודת הממוצעים (x̄, ȳ), ומקדם המתאם r מודד כמה הנקודות צמודות לישר. הנה המפה על דוגמה - ישר רגרסיה y = 2x + 5 עם מתאם חיובי חזק r = 0.9, שממנו חוזים שלערך x = 10 מתקבל y = 25:

ישר הרגרסיה y = 2x + 5 ומתאם r = 0.9 - חיזוי ל-x = 10 הוא 25
y x ישר הרגרסיה y = 2x + 5 דיאגרמת הפיזור (x, y) חיזוי: x = 10 ← y = 25 מקדם המתאם r = 0.9 - קשר חיובי חזק
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב את הרגרסיה והמתאם

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה ברגרסיה ובמתאם, בדיוק כפי שהם נדרשים בכיתה י״א ב-4 יח״ל. נסו לגרור נקודות במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך הישר ו-r משתנים.

1

דיאגרמת פיזור

לכל פרט אוספים זוג ערכים (x, y) - למשל x שעות לימוד ו-y ציון - ומסמנים אותו כנקודה. דיאגרמת הפיזור חושפת מבט ראשון בלי שום חישוב: האם ה-y נוטה לעלות כש-x עולה (קשר חיובי), לרדת (שלילי), או להיות מפוזר ללא מגמה. זהו גם המבחן הראשון לשאלה האם ישר רגרסיה בכלל יועיל כאן.

2

גרף הממוצעים

ניבוי ראשון בלי נוסחאות: מחלקים את ציר x לרצועות, ובכל רצועה מחשבים את הממוצע של y. הממוצע של הרצועה הוא ערך הניבוי לכל x שנופל בה. למשל: ברצועה 2-4 ממוצע 42 ⟵ הניבוי ל-x = 3 הוא 42.

3

מקדם המתאם r ותכונותיו

-1 ≤ r ≤ 1, והוא מספר טהור - בלי יחידות. שלוש תכונות חשובות: הוא אינו משתנה אם מוסיפים קבוע לנתונים או משנים יחידות (מ-ס״מ למ׳); הוא סימטרי - המתאם של x עם y שווה למתאם של y עם x; ואם r = ±1 הקשר לינארי מושלם וכל הנקודות על ישר אחד. r אינו השיפוע.

4

סולם עוצמת הקשר

את עוצמת הקשר מחלקים לשלוש רצועות: 0.7 ≤ |r| < 1 קשר חזק; 0.4 ≤ |r| < 0.7 קשר בינוני; 0 < |r| < 0.4 קשר חלש. הסימן קובע כיוון (חיובי או שלילי) והערך המוחלט קובע עוצמה, ולכן r = -0.85 חזק יותר מ-r = 0.6.

5

בניית ישר הרגרסיה

את הישר בונים ישירות מארבעה נתונים סטטיסטיים ומ-r: y - ȳ = r·SYSX·(x - x̄). השיפוע הוא b = r·SYSX - כאן מתחבר מקדם המתאם לשיפוע.

6

ניבוי - ומתי הוא חסר משמעות

כדי לנבא מציבים את ה-x בישר: לפי y = 2x + 5, הניבוי ל-x = 10 הוא 25. אבל שימו לב: הניבוי בעל משמעות רק כאשר קיים קשר סטטיסטי לינארי. אם r קרוב ל-0 או שהקשר אינו לינארי - לישר אין משמעות מעשית. ועוד: קשר סטטיסטי אינו קשר סיבתי.

r > 0
|r| מ-0.7 ומעלה - קשר חזק, הנקודות צמודות לישר
r < 0
|r| מתחת ל-0.4 - קשר חלש, הניבוי כמעט חסר ערך
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון פרק הסטטיסטיקה ב-4 יח״ל: ניבוי מישר נתון, בניית ישר הרגרסיה מהממוצעים ומסטיות התקן, וניבוי בעזרת גרף הממוצעים. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: קוראים את r, כותבים את הישר, ומציבים.

דוגמה 1y = 2x + 5 , ניבוי ל-x = 10
  1. בודקים שהניבוי לגיטימי: נתון r = 0.9, כלומר |r| ≥ 0.7 - קשר לינארי חזק, ולכן לישר הרגרסיה יש משמעות מעשית.
  2. מזהים את הישר: y = 2x + 5 (שיפוע 2, חיתוך 5).
  3. מציבים את x: y = 2·10 + 5 = 20 + 5.
  4. הניבוי עבור x = 10 הוא 25.
דוגמה 2x̄ = 10 , ȳ = 50 , SX = 2 , SY = 6 , r = 0.8 ⟵ ישר הרגרסיה
  1. מחשבים את השיפוע: b = r·SYSX = 0.8·62 = 0.8·3 = 2.4.
  2. כותבים את הישר דרך נקודת הממוצעים: y - ȳ = b(x - x̄), כלומר y - 50 = 2.4(x - 10).
  3. מסדרים: y = 2.4x - 24 + 50 = 2.4x + 26.
  4. בדיקה: מציבים את נקודת הממוצעים: 2.4·10 + 26 = 24 + 26 = 50 = ȳ ✓ - הישר אכן עובר דרך (10, 50).
  5. ישר הרגרסיה הוא y = 2.4x + 26, והניבוי ל-x = 15 הוא 2.4·15 + 26 = 36 + 26 = 62.
דוגמה 3גרף ממוצעים: רצועה 0-2 ⟵ 30 , רצועה 2-4 ⟵ 42 , רצועה 4-6 ⟵ 55
  1. מה זה גרף ממוצעים: מחלקים את ציר המשתנה הבלתי תלוי x לרצועות, ובכל רצועה מחשבים את הממוצע של המשתנה התלוי y.
  2. מאתרים את הרצועה: עבור x = 3, הערך נופל ברצועה 2-4.
  3. קוראים את הניבוי: הממוצע ברצועה הזאת הוא 42, וזהו ערך הניבוי.
  4. הניבוי ל-x = 3 הוא 42. שימו לב שהממוצעים 30 → 42 → 55 עולים - סימן לקשר חיובי, בלי לחשב r כלל.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (ניבוי ישיר, סולם עוצמת הקשר וגרף ממוצעים), יישום (בניית ישר הרגרסיה מהממוצעים וסטיות התקן), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הרגרסיה".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1דיאגרמת פיזור: המבט הראשון - האם בכלל יש קשר, ובאיזה כיוון, בלי שום חישוב.
  • 2גרף ממוצעים: מחלקים את ציר x לרצועות; ממוצע ה-y ברצועה הוא הניבוי.
  • 3מקדם המתאם: תמיד -1 ≤ r ≤ 1, מספר טהור בלי יחידות, וסימטרי בין המשתנים.
  • 4סולם העוצמה: 0.7 ≤ |r| < 1 חזק · 0.4 ≤ |r| < 0.7 בינוני · 0 < |r| < 0.4 חלש.
  • 5בניית הישר: y - ȳ = r·SYSX(x - x̄), והוא עובר תמיד דרך (x̄, ȳ).
  • 6אזהרה: ניבוי בעל משמעות רק כשקיים קשר לינארי - וקשר סטטיסטי אינו קשר סיבתי.
מפתח פתרונות (תרגול)

    גררו נקודות בפיזור. ישר הרגרסיה ומקדם המתאם מגיבים לכל שינוי.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי