נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יא׳ · 5 יח״ל 5 יחידות
חשבון אינטגרלי · פונקציית הצטברות · תרגול מדורג

תרגול פונקציית ההצטברות

כל מה שלמדנו על פונקציית ההצטברות F(x) = ∫ₐˣ g(t)dt - שהגבול העליון הוא המשתנה, שהמשפט היסודי נותן F'(x) = g(x), ש-F עולה היכן ש-g > 0 ויורדת היכן ש-g < 0, ושנקודות הקיצון של F הן בדיוק היכן ש-g מתאפסת ומחליפה סימן - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מנגזרת ואפסים ועד ניתוח קיצון מלא ואיתור טעות. זכרו את השיטה: כותבים F'(x) = g(x), מוצאים את אפסי g, בודקים את סימן g משני צדי כל אפס, ומסיקים את סוג הקיצון של F.

מעבדת ההצטברות - בחרו את התשובה בחרו בכל שורה את הנגזרת, האפס, סוג הקיצון או כיוון המונוטוניות הנכון - עבור g שהיא ריבועית או ליניארית

בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה. השיטה קבועה: כותבים F'(x) = g(x), מוצאים את אפסי g, בודקים את סימן g משני צדי כל אפס, ומסיקים את סוג הקיצון של F - מ+ ל- מקסימום, מ- ל+ מינימום. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה".

היכן F מפסיקה לעלות ומתחילה לרדת? לפי המשפט היסודי F'(x) = g(x): כל עוד g חיובית, F עולה; ברגע ש-g נעשית שלילית, F מתחילה לרדת. הרגע שבו g חוצה מחיובי לשלילי הוא בדיוק המקום שבו ל-F יש מקסימום, וההיפך - היכן ש-g עוברת משלילי לחיובי, ל-F יש מינימום. נזכיר כאן את השיטה, ומשם לתרגול המדורג: אפסי g, סימן, וסוג הקיצון של F.

מבט מקרוב

האנטומיה של פונקציית ההצטברות - תזכורת

נזכר שוב בשיטה: כותבים את הנגזרת F'(x) = g(x) (המשפט היסודי), מוצאים את אפסי g, בודקים את סימן g משני צדי כל אפס, ומסיקים את סוג הקיצון של F. הנה המפה המלאה על הדוגמה g(x) = x² - 4 (אפסים ב-x = ±2) - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול:

שינוי הסימן של g קובע את הקיצון של F - על g(x) = x² - 4: מקסימום ב-x = -2, מינימום ב-x = 2
x -2 2 g > 0 g < 0 g > 0 F: מקסימום F: מינימום g: + → - g: - → + g(x) = x² - 4
תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה עקרונות שנותנים שליטה מלאה בניתוח פונקציית הצטברות של כיתה יא׳ (5 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: ההגדרה, המשפט היסודי, F(a) = 0 בגבול התחתון, המונוטוניות לפי סימן g, תנאי הקיצון, וסוג הקיצון. עברו עליהם, ואז לתרגול המדורג.

1

ההגדרה: הגבול העליון הוא המשתנה

פונקציית הצטברות היא F(x) = ∫ₐˣ g(t)dt. הגבול התחתון a קבוע, והגבול העליון x נע. כל ערך של F הוא השטח המסומן שנצבר מ-a עד x.

2

המשפט היסודי: F'(x) = g(x)

הנגזרת של פונקציית ההצטברות היא הפונקציה שבתוך האינטגרל: F'(x) = g(x). זה מה שמחבר צבירת שטח לגזירה ומאפשר לנתח את F דרך g בלבד.

3

בגבול התחתון: F(a) = 0

בנקודה x = a עדיין לא נצבר שטח, כי ∫ₐᵃ g = 0. לכן F(a) = 0 תמיד - זו קריאה ישירה של ההגדרה, ולא פרט שצריך לחשב.

4

עלייה וירידה לפי סימן g

מכיוון ש-F' = g: היכן ש-g חיובית F עולה, והיכן ש-g שלילית F יורדת. אם g > 0 בכל קטע - F עולה בכולו.

5

תנאי הקיצון של F

קיצון של F אפשרי רק היכן ש-F' = 0, כלומר g(x) = 0. אבל אפס לבדו לא מספיק: צריך ש-g גם תחליף סימן שם, אחרת אין קיצון.

6

סוג הקיצון לפי כיוון שינוי הסימן

אם g עוברת מ+ ל- → F עולה ואז יורדת → מקסימום. אם g עוברת מ- ל+ → F יורדת ואז עולה → מינימום. הכיוון של g קובע את הסוג.

g: + → -
g עוברת מ+ ל- ← ל-F מקסימום
g: - → +
g עוברת מ- ל+ ← ל-F מינימום
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. השיטה קבועה וחוזרת: F' = g, מוצאים אפסי g, בודקים סימן משני צדי כל אפס, ומסיקים את סוג הקיצון של F. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1F(x) = ∫₀ˣ (t² - 4)dt
  1. נגזרת: לפי המשפט היסודי F'(x) = g(x) = x² - 4.
  2. אפסי g: x² - 4 = 0 → x = ±2.
  3. סימן ב-x = -2: משמאל g > 0, מימין g < 0 (עוברת מ+ ל-).
  4. סימן ב-x = 2: משמאל g < 0, מימין g > 0 (עוברת מ- ל+).
  5. ל-F מקסימום ב-x = -2 ומינימום ב-x = 2.
דוגמה 2F(x) = ∫₀ˣ (t² - 9)dt
  1. נגזרת: F'(x) = g(x) = x² - 9.
  2. אפסי g: x² - 9 = 0 → x = ±3.
  3. ב-x = -3: g עוברת מ+ ל- → F מקבלת מקסימום.
  4. ב-x = 3: g עוברת מ- ל+ → F מקבלת מינימום.
  5. מקסימום ב-x = -3, מינימום ב-x = 3.
דוגמה 3F(x) = ∫₀ˣ (4 - t²)dt
  1. נגזרת: F'(x) = g(x) = 4 - x².
  2. אפסי g: 4 - x² = 0 → x = ±2.
  3. ב-x = -2: משמאל g < 0, מימין g > 0 (מ- ל+) → מינימום.
  4. ב-x = 2: משמאל g > 0, מימין g < 0 (מ+ ל-) → מקסימום.
  5. כאן הסימן הפוך: מינימום ב-x = -2, מקסימום ב-x = 2.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - פונקציית הצטברות

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסוד (נגזרת F' = g, אפסים ו-F(a) = 0); יישום (עלייה/ירידה וזיהוי קיצון); מוגברת (ניתוח מלא, ספירת קיצון והשוואה); ועד רמת בגרות בסגנון שאלון 35571 - ניתוח רב-שלבי ואיתור טעות. כל השאלות מבוססות על העקרונות שלמעלה, וכל התשובות המספריות הן ערכים שלמים ומדויקים (הצבה בפונקציה, אפסים שלמים ±c וערכי קיצון). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר ההצטברות" שמוצאת את אפסי g ואת נקודות הקיצון של F וסוגן. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1ההגדרה: F(x) = ∫ₐˣ g(t)dt - הגבול העליון הוא המשתנה, ו-F(a) = 0.
  • 2המשפט היסודי: F'(x) = g(x).
  • 3מונוטוניות: g > 0 → F עולה, g < 0 → F יורדת.
  • 4קיצון: היכן ש-g = 0 ומחליפה סימן.
  • 5סוג: g: +→- מקסימום, g: -→+ מינימום.
מפתח פתרונות (תרגול)

    היי! זה דף תרגול על פונקציית הצטברות. גללו לתזכורת קצרה, ואז לתרגול המדורג. אני כאן עם טיפ בכל שלב.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי