נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יא׳ · 5 יח״ל 5 יחידות
פונקציית הצטברות

הנגזרת של השטח היא הפונקציה עצמה

פונקציית הצטברות היא פונקציה מהצורה F(x) = ∫ₐˣ g(t)dt - הגבול העליון הוא המשתנה, וכל ערך שלה הוא השטח המסומן שנצבר מ-a עד x. המשפט היסודי מגלה קשר מפתיע: F'(x) = g(x). מכאן שכל מה שלמדתם על נגזרת עובד: F עולה כאשר g חיובית ויורדת כאשר g שלילית, ונקודות הקיצון של F הן בדיוק המקומות שבהם g מתאפסת ומחליפה סימן. הזיזו את הגבול העליון במעבדה וראו איך הקיצון של F נופל בדיוק על אפס של g.

מעבדת ההצטברות הזיזו את x וראו: F מגיעה לקיצון בדיוק היכן ש-g חוצה את ציר ה-x
g(x) = x² − 4
F(x) = x³/3 − 4x F בנקודה - g בנקודה -
הפונקציה g(x)x² − 4
הגבול העליון x3

איפה נעצרת ההצטברות? דמיינו מד-זרימה שהערך הרגעי שלו הוא g(x): כל עוד g חיובית, הכמות המצטברת F גדלה; כשה-g נעשית שלילית, הכמות מתחילה לרדת. הרגע שבו g חוצה מחיובי לשלילי הוא הרגע שבו F מפסיקה לעלות ומתחילה לרדת - מקסימום. וההיפך: היכן ש-g עוברת משלילי לחיובי, ל-F יש מינימום. זו הפואנטה של המשפט היסודי: F'(x) = g(x), ולכן כל שאלת קיצון על F הופכת לשאלה פשוטה - היכן g מתאפסת ומחליפה סימן.

מבט מקרוב

האנטומיה של פונקציית ההצטברות

כל ניתוח של פונקציית הצטברות עובר את אותם שלבים: כותבים את הנגזרת F'(x) = g(x) (המשפט היסודי), מוצאים את אפסי g, בודקים את סימן g משני צדי כל אפס, ומסיקים את סוג הקיצון של F. הנה המפה המלאה על הדוגמה g(x) = x² − 4 (אפסים ב-x = ±2):

שינוי הסימן של g קובע את הקיצון של F - על g(x) = x² − 4
x −2 2 g > 0 g < 0 g > 0 F: מקסימום F: מינימום g: + → − g: − → + g(x) = x² − 4
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב את פונקציית ההצטברות

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בניתוח פונקציית הצטברות, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את הגבול העליון תוך כדי קריאה, וצפו איך הקיצון של F נופל תמיד על אפס של g.

1

ההגדרה: הגבול העליון הוא המשתנה

פונקציית הצטברות היא F(x) = ∫ₐˣ g(t)dt. הגבול התחתון a קבוע, והגבול העליון x נע. כל ערך של F הוא השטח המסומן שנצבר מ-a עד x.

2

המשפט היסודי: F'(x) = g(x)

הנגזרת של פונקציית ההצטברות היא הפונקציה שבתוך האינטגרל: F'(x) = g(x). זהו לב העניין - הוא מחבר בין צבירת שטח לבין גזירה, ומאפשר לנתח את F בלי לחשב אינטגרל.

3

עלייה וירידה לפי סימן g

מכיוון ש-F' = g: היכן ש-g חיובית, F עולה; היכן ש-g שלילית, F יורדת. אם g חיובית בכל קטע - F עולה בכולו.

4

נקודות הקיצון של F

קיצון של F אפשרי רק היכן ש-F' = 0, כלומר היכן ש-g(x) = 0. אבל אפס לבדו לא מספיק: צריך ש-g גם תחליף סימן שם, אחרת אין קיצון.

5

סוג הקיצון לפי כיוון שינוי הסימן

אם g עוברת מ+ ל− → F עולה ואז יורדת → מקסימום. אם g עוברת מ− ל+ → F יורדת ואז עולה → מינימום. הכיוון של g קובע את הסוג.

6

דוגמה פתורה

עבור g(x) = x² − 4: אפסים ב-x = ±2. ב-x = −2 ה-g עוברת מ+ ל− → F מקבלת מקסימום. ב-x = 2 היא עוברת מ− ל+ → F מקבלת מינימום.

g: + → −
g עוברת מ+ ל− ← ל-F מקסימום
g: − → +
g עוברת מ− ל+ ← ל-F מינימום
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה החוזרת: F' = g, מוצאים אפסי g, בודקים סימן משני צדי כל אפס, ומסיקים את סוג הקיצון של F.

דוגמה 1F(x) = ∫₀ˣ (t² − 4)dt
  1. נגזרת: לפי המשפט היסודי F'(x) = g(x) = x² − 4.
  2. אפסי g: x² − 4 = 0 ⇐ x = ±2.
  3. סימן ב-x = −2: משמאל g > 0, מימין g < 0 (עוברת מ+ ל−).
  4. סימן ב-x = 2: משמאל g < 0, מימין g > 0 (עוברת מ− ל+).
  5. ל-F מקסימום ב-x = −2 ומינימום ב-x = 2.
דוגמה 2F(x) = ∫₀ˣ (t² − 9)dt
  1. נגזרת: F'(x) = g(x) = x² − 9.
  2. אפסי g: x² − 9 = 0 ⇐ x = ±3.
  3. ב-x = −3: g עוברת מ+ ל− → F מקבלת מקסימום.
  4. ב-x = 3: g עוברת מ− ל+ → F מקבלת מינימום.
  5. מקסימום ב-x = −3, מינימום ב-x = 3.
דוגמה 3F(x) = ∫₀ˣ (4 − t²)dt
  1. נגזרת: F'(x) = g(x) = 4 − x².
  2. אפסי g: 4 − x² = 0 ⇐ x = ±2.
  3. ב-x = −2: משמאל g < 0, מימין g > 0 (מ− ל+) → מינימום.
  4. ב-x = 2: משמאל g > 0, מימין g < 0 (מ+ ל−) → מקסימום.
  5. כאן הסימן הפוך: מינימום ב-x = −2, מקסימום ב-x = 2.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (נגזרת ואפסים), יישום (עלייה/ירידה וזיהוי קיצון), ורמת בגרות בסגנון שאלון 35571 (ניתוח מלא של פונקציית הצטברות). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר ההצטברות".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1ההגדרה: F(x) = ∫ₐˣ g(t)dt - הגבול העליון הוא המשתנה.
  • 2המשפט היסודי: F'(x) = g(x).
  • 3מונוטוניות: g > 0 ⇐ F עולה, g < 0 ⇐ F יורדת.
  • 4קיצון: היכן ש-g = 0 ומחליפה סימן.
  • 5סוג: g: +→− מקסימום, g: −→+ מינימום.
מפתח פתרונות (תרגול)

    היי! גללו במורד הדף ואני אלווה אתכם עם טיפ בכל שלב של ניתוח פונקציית ההצטברות.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי