שטח כלוא בין גרפים עם האינטגרל המסוים
האינטגרל המסוים ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a) סוכם את השטח שבין הגרף לציר. אבל שטח הוא תמיד אי-שלילי: היכן שהגרף מתחת לציר האינטגרל יוצא שלילי, ולכן לוקחים ערך מוחלט או מפצלים בחיתוכים. בין שני גרפים מחשבים ∫ (עליון − תחתון) dx. בדף הזה, בסגנון בגרות של 5 יח״ל, נמצא חיתוכים, נפצל לפי שינוי סימן, ונחשב שטח מדויק. הזיזו את הגבולות במעבדה וראו את השטח הצבוע משתנה.
כמה שטח כלוא בין העקומה לישר? דמיינו חלקת אדמה שגבולותיה הם שני גרפים - עקומה מלמעלה, ישר מלמטה. כדי למדוד את שטחה איננו סופרים משבצות; אנחנו מחשבים אינטגרל אחד: ∫ₐᵇ (עליון − תחתון) dx. אבל יש מלכודת - כשגרף צולל מתחת לציר ה-x, האינטגרל "סופר" שטח שלילי. לכן שטח אמיתי דורש ערך מוחלט, או פיצול המקטע בנקודות החיתוך כך שבכל קטע נדע מי למעלה. זו בדיוק המיומנות שחוזרת בכל שאלת שטח בבגרות.
האנטומיה של חישוב שטח
לכל שאלת שטח יש אותם שלבים: מוצאים את נקודות החיתוך (עם הציר, או בין שני הגרפים), קובעים בכל קטע מי הגרף העליון, מציבים באינטגרל ∫ (עליון − תחתון) dx, ומחשבים לפי המשפט היסודי F(b) − F(a). הנה המפה על דוגמה - השטח בין f(x) = x² − 4 לציר ה-x:
מה מרכיב חישוב שטח בין גרפים
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל שאלת שטח ב-5 יח״ל. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את הגבולות a, b תוך כדי קריאה, וצפו איך האזור הצבוע והשטח המחושב משתנים יחד.
האינטגרל המסוים כשטח
האינטגרל ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a) נותן את השטח מסומן בין הגרף לציר: חיובי מעל הציר, שלילי מתחתיו. לדוגמה, ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 83.
קדומה וחוק החזקה
מחשבים באמצעות קדומה ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c, איבר-איבר. למשל הקדומה של x² − 4 היא x³/3 − 4x, ומציבים בה את הגבולות.
חיתוכים = גבולות
גבולות האינטגרל הם נקודות החיתוך. עם ציר ה-x פותרים f(x) = 0; בין שני גרפים פותרים f(x) = g(x). בדוגמה x² − 4 = 0 נותן x = ±2.
שינוי סימן - ערך מוחלט
שטח הוא אי-שלילי. אם הגרף מתחת לציר, האינטגרל יוצא שלילי - לוקחים ערך מוחלט. בדוגמה ∫₋₂²(x² − 4)dx = −323, והשטח הוא |−323| = 323.
שטח בין שני גרפים
מחשבים ∫ₐᵇ (עליון − תחתון) dx. בדוגמה בין g = x + 2 (עליון) ל-f = x² (תחתון) מ-−1 עד 2: ∫₋₁²(x + 2 − x²)dx = 4.5.
פיצול בחיתוכים
אם מי-שלמעלה מתחלף בתוך הקטע, מפצלים בנקודת החיתוך ומחברים את השטחים החלקיים. בכל תת-קטע קובעים מחדש מי הגרף העליון - כך אף שטח לא "מתקזז".
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: חיתוכים → מי עליון → אינטגרל → הצבה במשפט היסודי, ובסוף ערך מוחלט אם ירדנו מתחת לציר.
- חיתוכים: פותרים x² − 4 = 0, כלומר x = ±2 - אלה גבולות האינטגרל.
- מי למעלה: בקטע (−2, 2) הפרבולה מתחת לציר, לכן האינטגרל יֵצֵא שלילי.
- אינטגרל: הקדומה היא x³/3 − 4x, אז ∫₋₂²(x² − 4)dx = (83 − 8) − (−83 + 8) = −323.
- השטח הוא |−323| = 323 ≈ 10.67.
- חיתוכים: x² = x + 2 → x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) = 0, כלומר x = −1 ו-x = 2.
- מי למעלה: בקטע ביניהם הישר g = x + 2 מעל הפרבולה f = x², לכן עליון − תחתון = x + 2 − x².
- אינטגרל: הקדומה היא x²/2 + 2x − x³/3. הצבה: (2 + 4 − 83) − (12 − 2 + 13) = 103 + 76.
- השטח הוא ∫₋₁²(x + 2 − x²)dx = 276 = 4.5.
- גבולות: נתונים a = 0 ו-b = 2; בקטע הזה x² ≥ 0, כלומר הגרף מעל הציר - אין צורך בערך מוחלט.
- קדומה: ∫ x² dx = x³/3 + c.
- הצבה: ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 83 − 0.
- השטח הוא 83 ≈ 2.67.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (אינטגרל מסוים ישיר), יישום (שטח מול הציר ובין גרפים), ורמת בגרות (חיתוכים, פיצול בשינוי סימן ושטח מלא). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר השטח".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1המשפט היסודי: ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a) - הפרש הקדומה בגבולות.
- 2חיתוכים = גבולות: מול הציר פותרים f = 0, בין גרפים f = g.
- 3שטח בין גרפים: ∫ₐᵇ (עליון − תחתון) dx.
- 4מתחת לציר: |∫| - ערך מוחלט, כי שטח אי-שלילי.
- 5שינוי סימן: מפצלים בחיתוך ומחברים את השטחים החלקיים.
