נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יא׳ · 5 יח״ל 5 יחידות
תרגול מדורג · הסתברות רב-שלבית

24 שאלות על ברנולי

כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים. הסדר קבוע: 1. לוודא שמדובר באותו ניסוי החוזר n פעמים, עם שתי תוצאות, בלתי תלויים ו-p קבועה. 2. לזהות n, k ו-p. 3. לחשב את C(n,k) - מהנוסחה או ממשולש פסקל. 4. להציב ב-Pₙ(k) = C(n,k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. ואם השאלה היא על "לפחות אחת" - ללכת דרך המשלים 1 − (1 − p)ⁿ. תזכורת קצרה, ואז ארבעה סטים.

דף עבודה מהיר שש שורות לחימום - בחרו וסמנו Check

בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה. הנוסחה קבועה: Pₙ(k) = C(n,k)·pk·(1−p)n−k. מקדם הבינום C(n,k) סופר כמה מסלולים בעץ נותנים בדיוק k הצלחות, ואת הסיכוי של מסלול יחיד מקבלים בכפל. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". C(n,k) = n! / (k!·(n−k)!)

הטעות הנפוצה ביותר בפרק הזה היא לשכוח את C(n,k). תלמיד שמחשב "בדיוק 3 עצים מתוך 5" ורושם (½)³·(½)² = 132 חישב את ההסתברות של מסלול אחד - למשל עץ-עץ-עץ-פלי-פלי - ולא של המאורע. יש C(5,3) = 10 מסלולים כאלה, ולכן התשובה גדולה פי עשרה: 1032 = 0.3125. הטעות ההפוכה נפוצה גם היא: להשתמש בנוסחה כשהשליפה היא בלי החזרה, ואז ההסתברות משתנה בין השלבים והנוסחה כלל אינה תקפה. שתי הטעויות האלה נבדקות בסטים למטה.

לפני שמתחילים

שלושת החלקים, ומשולש פסקל

C(n,k) סופר מסלולים, pᵏ הוא הסיכוי להצלחות, ו-(1 − p)ⁿ⁻ᵏ הוא הסיכוי לכישלונות. את המקדמים אפשר לקרוא ישירות ממשולש פסקל: השורה החמישית היא 1, 5, 10, 10, 5, 1.

P₅(3) = C(5,3)·(½)³·(½)² = 10 · 132 = 0.3125
P₅(3) = C(5,3) · p³ · (1 − p)² כמה מסלולים C(5,3) = 10 3 הצלחות 2 כישלונות עם p = ½: 10 · (½)³ · (½)² = 10 · 1/32 = 0.3125 מקדמי הבינום - משולש פסקל 1 11 121 1331 14641 15101051 C(5,3) = 10
תזכורת מהירה

שישה כללים לפני התרגול

כל מה שצריך כדי לפתור את 24 השאלות, בקצרה, בדיוק כפי שהוא מופיע בדף הלימוד.

1

שלושת התנאים

אותו ניסוי חוזר n פעמים; שתי תוצאות בלבד; ניסויים בלתי תלויים עם p קבועה. אם אחד מהם נשבר - הנוסחה אינה תקפה.

2

מקדם הבינום

C(n,k) = n!/(k!(n−k)!). למשל C(4,1) = 4, C(10,2) = 45, C(8,3) = 56. וגם C(n,k) = C(n, n−k).

3

הנוסחה

Pₙ(k) = C(n,k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ - מודפסת בנוסחאון של 5 יח״ל. אל תשכחו את המקדם.

4

לפחות אחת

1 − (1 − p)ⁿ. עם n = 4 ו-p = ½ מקבלים 1 − 116 = 0.9375.

5

לפחות k

מחברים את כל ההסתברויות מ-k עד n. למשל "לפחות 3 עצים מתוך 4" הוא P(3) + P(4) = 416 + 116 = 516.

6

בדיקת הסכום

סכום P(0) + P(1) + … + P(n) הוא תמיד 1. אם קיבלתם משהו אחר - יש טעות. בדיקה מהירה ובחינם.

בדיוק k הצלחות
סופרים מסלולים: C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ
1 − P(0)
לפחות הצלחה אחת
דרך המשלים: 1 − (1 − p)ⁿ
נפתור יחד

שלוש דוגמאות מלאות

בדיוק השיטה שתעבוד בכל 24 השאלות: בדיוק k, לפחות k, ובדיקה מתי הנוסחה אינה תקפה.

דוגמה 1מטבע הוגן מוטל 6 פעמים. מה ההסתברות לבדיוק 3 עצים?
  1. מזהים: n = 6, k = 3, p = ½. שלושת התנאים מתקיימים.
  2. מקדם: C(6,3) = 7206·6 = 20 (השורה השישית של פסקל: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1).
  3. מציבים: P₆(3) = 20·(½)³·(½)³ = 20·(½)⁶ = 2064.
  4. P = 0.3125.
דוגמה 2מטבע הוגן מוטל 4 פעמים. מה ההסתברות ללפחות 3 עצים?
  1. מפרקים: "לפחות 3" מתוך 4 פירושו k = 3 או k = 4.
  2. מחשבים כל אחד: P(3) = C(4,3)·(½)⁴ = 416, ו-P(4) = C(4,4)·(½)⁴ = 116.
  3. מחברים: P = 416 + 116 = 516.
  4. P = 0.3125. (כאן המשלים לא היה מקצר, כי הוא כולל שלושה איברים.)
דוגמה 3שולפים 2 קלפים מחפיסה בלי החזרה. האם זו בעיית ברנולי?
  1. בודקים אי-תלות: אחרי השליפה הראשונה נשארים 51 קלפים, ולכן ההסתברות בשליפה השנייה שונה.
  2. מסקנה: p אינה קבועה, והניסויים תלויים. נוסחת ברנולי אינה תקפה.
  3. מה כן: עץ הסתברויות עם הסתברות מותנית, כפי שנלמד בפרק ההסתברות המותנית.
  4. לא. תמיד לבדוק את המילה "החזרה" בשאלה - היא קובעת איזה כלי מפעילים.
תרגלו ובדקו את עצמכם

24 שאלות בארבעה סטים

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסוד (מקדמי בינום והצבה); יישום (משלים ואי-תלות); מוגברת (צירופים ובדיקת סכום); ורמת בגרות בסגנון שאלון 35571 - רב-שלבי ואיתור טעות. בכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר ברנולי".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1הנוסחה: Pₙ(k) = C(n,k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
  • 2אל תשכחו את המקדם - בלעדיו חישבתם מסלול אחד בלבד.
  • 3לפחות אחת: 1 − (1 − p)ⁿ.
  • 4בלי החזרה: ברנולי אינה תקפה - עוברים לעץ.
  • 5בדיקה: סכום כל ההסתברויות הוא 1.
מפתח פתרונות (תרגול)

    היי! 24 שאלות על ברנולי. השלב הראשון תמיד: לבדוק שהתנאים מתקיימים.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי