נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יא׳ · 5 יח״ל 5 יחידות
הסתברות · ניסוי רב-שלבי

לספור מסלולים במקום לצייר עץ

כשחוזרים על אותו ניסוי n פעמים, עץ ההסתברויות גדל בקצב מפחיד: שלושה שלבים נותנים 8 מסלולים, עשרה שלבים נותנים 1024. אבל כל המסלולים שיש בהם בדיוק k הצלחות נושאים בדיוק אותה הסתברות, ולכן די לספור כמה הם. הספירה הזו היא מקדם הבינום C(n,k), ומכאן נולדת נוסחת ברנולי: Pₙ(k) = C(n,k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. הנוסחה מודפסת בנוסחאון שתקבלו בבחינה - הדף הזה מלמד מה עושים איתה.

מעבדת ההתפלגות הבינומית שנו את n, k ו-p וראו איך כל ההסתברויות מסתדרות ומסתכמות ל-1
Pₙ(k) = C(n,k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ
C(n,k) = - Pₙ(k) = - לפחות אחת: - סכום כל העמודות: -
n (ניסיונות)5
k (הצלחות)3
p (הצלחה בניסיון בודד)0.5

שלוש הטלות, שני עצים - כמה מסלולים? ציירו עץ של שלוש הטלות מטבע. יש בו 8 מסלולים, וכל אחד מהם באותה הסתברות (½)³ = 18. עכשיו סמנו את המסלולים שבהם יצאו בדיוק שני עצים: עץ-עץ-פלי, עץ-פלי-עץ ופלי-עץ-עץ - שלושה. ולכן ההסתברות היא 3 · 18 = 38. השלושה הזה אינו מקרי: הוא C(3,2), מספר הדרכים לבחור אילו שניים מתוך שלושת השלבים יהיו ההצלחות. ברגע שמבינים את זה, אפשר לזרוק את העץ: Pₙ(k) = C(n,k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ עובדת גם כש-n = 50.

מבט מקרוב

שלושת החלקים של הנוסחה

לנוסחת ברנולי יש שלושה גורמים, ולכל אחד תפקיד ברור. מקדם הבינום C(n,k) סופר כמה מסלולים בעץ נותנים בדיוק k הצלחות. pᵏ הוא הסיכוי ש-k השלבים המסומנים יצליחו, ו-(1 − p)ⁿ⁻ᵏ הוא הסיכוי שכל השאר ייכשלו. המכפלה של השלושה היא ההסתברות המבוקשת. את מקדמי הבינום אפשר לחשב מהנוסחה C(n,k) = n!k!·(n − k)! או לקרוא ישירות ממשולש פסקל.

P₅(3) = C(5,3)·(½)³·(½)² = 10 · 132 = 0.3125
P₅(3) = C(5,3) · p³ · (1 − p)² כמה מסלולים C(5,3) = 10 3 הצלחות 2 כישלונות עם p = ½: 10 · (½)³ · (½)² = 10 · 1/32 = 0.3125 מקדמי הבינום - משולש פסקל 1 11 121 1331 14641 15101051 C(5,3) = 10
נכיר צעד אחר צעד

שישה מושגים של הפרק

מהעץ ועד הנוסחה, ואז שלוש התבניות שחוזרות בבחינה: בדיוק k, לפחות אחת, ולכל היותר k. שימו לב לכרטיס 1 - התנאים שבלעדיהם הנוסחה פשוט אינה תקפה.

1

מתי מותר להשתמש

שלושה תנאים, וכולם הכרחיים: (1) אותו ניסוי חוזר n פעמים; (2) לכל ניסוי שתי תוצאות בלבד - הצלחה או כישלון; (3) הניסויים בלתי תלויים ו-p קבועה. שליפה בלי החזרה, למשל, מפרה את התנאי השלישי.

2

מקדם הבינום

C(n,k) = n! / (k!·(n − k)!) - מספר הדרכים לבחור k מקומות מתוך n. למשל C(5,3) = 120/(6·2) = 10. תמיד C(n,0) = C(n,n) = 1, ו-C(n,k) = C(n, n−k).

3

נוסחת ברנולי

Pₙ(k) = C(n,k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. זו הנוסחה המודפסת בנוסחאון. פירוש: כמה מסלולים, כפול הסיכוי של מסלול יחיד.

4

לפחות אחת

הדרך הקצרה היא דרך המאורע המשלים: P(לפחות אחת) = 1 − P(אף אחת) = 1 − (1 − p)ⁿ. למשל עם n = 3 ו-p = 0.1 מקבלים 1 − 0.9³ = 1 − 0.729 = 0.271.

5

לכל היותר k

מחברים: P(0) + P(1) + … + P(k). ולפעמים קצר יותר לחשב את המשלים. סכום כל ההסתברויות מ-k = 0 עד k = n הוא תמיד 1 - בדיקה מצוינת לתשובה.

6

משולש פסקל

כל שורה נבנית מהשורה מעליה בחיבור שכנים. השורה החמישית היא 1, 5, 10, 10, 5, 1 - בדיוק C(5,0) עד C(5,5). שיטה מהירה לקבל את המקדמים בלי לחשב עצרות.

בדיוק k הצלחות
סופרים מסלולים: C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ
1 − P(0)
לפחות הצלחה אחת
דרך המשלים: 1 − (1 − p)ⁿ
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש התבניות שחוזרות בשאלון: בדיוק k הצלחות, לפחות אחת, ומקרה שבו הנוסחה אינה תקפה. השלישית חשובה לא פחות מהשתיים הראשונות.

דוגמה 1מטבע הוגן מוטל 5 פעמים. מה ההסתברות לקבל בדיוק 3 עצים?
  1. בודקים תנאים: אותו ניסוי חוזר 5 פעמים, שתי תוצאות, בלתי תלויים, p = ½ קבועה. הנוסחה תקפה.
  2. מזהים: n = 5, k = 3, p = ½.
  3. מקדם הבינום: C(5,3) = 5!3!·2! = 1206·2 = 10.
  4. מציבים: P₅(3) = 10·(½)³·(½)² = 10·(½)⁵ = 1032.
  5. P = 0.3125, כלומר קצת מעל 31%.
דוגמה 2בכל יום יש 10% סיכוי לגשם. מה ההסתברות שיירד גשם לפחות ביום אחד מתוך 3?
  1. מזהים: n = 3, p = 0.1, והשאלה היא על לפחות אחד.
  2. עוברים למשלים: "לפחות אחד" הוא המשלים של "אף אחד", ולכן P = 1 − P₃(0).
  3. מחשבים את המשלים: P₃(0) = C(3,0)·0.1⁰·0.9³ = 1·1·0.729 = 0.729.
  4. מחסרים: P = 1 − 0.729.
  5. P = 0.271. שימו לב כמה קצר זה מלחשב P(1) + P(2) + P(3).
דוגמה 3בכד 10 כדורים, 4 אדומים. שולפים 3 בלי החזרה. האם מותר להשתמש בנוסחת ברנולי?
  1. בודקים את התנאי השלישי: אחרי שליפה ראשונה בכד נשארים 9 כדורים, ולכן ההסתברות לאדום משתנה.
  2. מסקנה: הניסויים תלויים ו-p אינה קבועה. נוסחת ברנולי אינה תקפה כאן.
  3. הדרך הנכונה: עץ הסתברויות עם הסתברויות מותנות. למשל שלושה אדומים: 410·39·28 = 24720 = 130.
  4. מתי כן: אילו הייתה החזרה, כל שליפה הייתה עצמאית עם p = 0.4, וברנולי הייתה תקפה.
  5. לא. "בלי החזרה" הורס את אי-התלות, ולכן משתמשים בעץ ובהסתברות מותנית ולא בנוסחת ברנולי.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

שלושה סטים מדורגים: יסוד (מקדמי בינום והצבה ישירה), יישום (לפחות אחת, לכל היותר, ובדיקת תנאים), ורמת בגרות בסגנון שאלון 35571 (רב-שלבי ומקרים שבהם הנוסחה אינה תקפה). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר ברנולי".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1הנוסחה: Pₙ(k) = C(n,k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ - מודפסת בנוסחאון.
  • 2מקדם הבינום: C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) - כמה מסלולים בעץ.
  • 3שלושה תנאים: אותו ניסוי, שתי תוצאות, בלתי תלויים עם p קבועה.
  • 4לפחות אחת: 1 − (1 − p)ⁿ.
  • 5בדיקה: סכום כל ההסתברויות מ-0 עד n הוא 1.
  • 6בלי החזרה: ברנולי אינה תקפה - עוברים לעץ ולהסתברות מותנית.
מפתח פתרונות (תרגול)

    היי! זה הכלי שהופך עץ של 1024 מסלולים לשורה אחת. בואו נראה איך.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי