נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יא׳ · 5 יח״ל 5 יחידות
הסתברות מותנית · טבלה דו-ממדית, דיאגרמת עץ ומאורעות תלויים · תרגול מדורג

תרגול הסתברות מותנית

כל הכלים של ההסתברות המותנית מ-5 יח״ל, עכשיו לתרגול: הנוסחה P(A|B) = P(A∩B) / P(B) - חיתוך חלקי המרחב המצומצם ; קריאת P(A|B) מטבלה דו-ממדית (תא החיתוך חלקי סכום השורה או העמודה) ; קריאת ענף מותנה מדיאגרמת עץ בשליפה בלי החזרה ; ובדיקת אי-תלות: המאורעות בלתי-תלויים אם P(A|B) = P(A), וזה שקול ל-P(A∩B) = P(A)·P(B). כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב ישיר ועד ניתוח רב-שלבי ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו: מזהים את A ואת B, מוצאים את החיתוך, ומחלקים במרחב המצומצם P(B).

מעבדת ההסתברות המותנית - בחרו את התשובה בחרו בכל שורה את הערך הנכון - הסתברות מותנית מטבלה, ענף מותנה בעץ, או החלטת אי-תלות

בכל שורה בחרו את הערך הנכון - הסתברות מותנית מטבלה, ענף מותנה בעץ, או החלטת אי-תלות. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". P(A∣B) = P(A∩B) / P(B) · בלתי-תלויים אם P(A∣B) = P(A)

100 אנשים, 40 מהם גברים. נבחר אדם אקראי - ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים היא מספר אחד. אבל אם כבר ידוע שהאדם גבר, המרחב מצטמצם: כעת בוחרים רק מבין 40 הגברים. אם 30 מהם מרכיבים משקפיים, ההסתברות שהגבר הזה מרכיב משקפיים היא 3040 = 0.75. זו הסתברות מותנית P(משקפיים | גבר): המידע "גבר" מקטין את מרחב המדגם. נזכיר כאן את הכלים - הנוסחה, קריאה מטבלה ומעץ, ובדיקת אי-תלות - ומשם לתרגול המדורג. זכרו: מחלקים תמיד במרחב המצומצם P(B), לא בכלל האוכלוסייה.

מבט מקרוב

האנטומיה של טבלה דו-ממדית - תזכורת

נזכר שוב במבנה: בטבלה דו-ממדית של ספירות, P(A|B) הוא תא החיתוך A∩B חלקי סכום השורה או העמודה של B - לא חלקי כל הטבלה. הנה טבלה של 100 אנשים: העמודה "גבר" היא המרחב המצומצם B, והתא הצבוע בזהב הוא A∩B (גברים עם משקפיים). מחלקים אותו בסכום העמודה:

טבלה דו-ממדית - P(משקפיים | גבר) = 3040 = 0.75 (תא החיתוך חלקי סכום עמודת B)
גבר (B) אישה סה״כ משקפיים (A) ללא משקפיים סה״כ 30 30 60 10 30 40 40 60 100 P(A|B) = 30 / 40 = 0.75
תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה מושגים מפרק ההסתברות המותנית של כיתה יא׳ (5 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: נוסחת ההסתברות המותנית, קריאה מטבלה, קריאה מעץ, מאורעות תלויים, מאורעות בלתי-תלויים, ובדיקת אי-תלות. ואז לתרגול המדורג.

1

נוסחת ההסתברות המותנית

ההסתברות ל-A בהינתן B היא P(A|B) = P(A∩B)P(B). מחלקים את החיתוך במרחב המצומצם B. חובה ש-P(B) > 0.

2

טבלה דו-ממדית

בטבלה של ספירות, P(A|B) הוא תא החיתוך חלקי סכום השורה או העמודה של B. בדוגמה: P(משקפיים|גבר) = 3040 = 0.75 - 30 גברים עם משקפיים מתוך 40 הגברים.

3

דיאגרמת עץ

על כל ענף רושמים הסתברות מותנית, ומכפילים לאורך המסלול. מכד עם 5 אדומים ו-3 כחולים בלי החזרה: לאחר אדום ראשון נשארו 4 אדומים מתוך 7, לכן P(שני אדום | ראשון אדום) = 47.

4

מאורעות תלויים

מאורעות תלויים אם קרות של אחד משנה את ההסתברות של השני. בשליפה בלי החזרה מהכד P(שני אדום | ראשון אדום) = 47 שונה מ-P(שני אדום) ללא ידע - ולכן תלויים.

5

מאורעות בלתי-תלויים

מאורעות בלתי-תלויים אם המידע לא משנה כלום: P(A|B) = P(A). במקרה זה גם P(A∩B) = P(A)·P(B) - הכפל הפשוט תקף.

6

בדיקת אי-תלות

כדי לבדוק, משווים: מחשבים P(A|B) ואת P(A). אם שווים - בלתי-תלויים ; אם שונים - תלויים. שקילות: בודקים אם P(A∩B) = P(A)·P(B).

P(A|B)=P(A)
P(A|B) = P(A)
P(A|B) = P(A) ← בלתי-תלויים (המידע לא שינה כלום)
4/73/7
P(שני אדום | ראשון אדום) = 47
P(A|B) ≠ P(A) ← תלויים (המידע שינה את ההסתברות)
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. השיטה קבועה: מזהים את A ואת B, מוצאים את החיתוך, ומחלקים ב-P(B). אותם כלים יעבדו בתרגול.

דוגמה 1100 אנשים · 40 גברים · 30 מהם משקפיים
  1. זיהוי המאורעות: A = מרכיב משקפיים, B = גבר. מבקשים P(A|B) = ההסתברות למשקפיים בהינתן שהאדם גבר.
  2. מרחב מצומצם: ידוע שהאדם גבר, ולכן מסתכלים רק על 40 הגברים - זהו P(B) כספירה.
  3. חיתוך: מבין 40 הגברים, 30 מרכיבים משקפיים - זהו A∩B.
  4. P(משקפיים | גבר) = 3040 = 0.75.
דוגמה 2כד: 5 אדומים · 3 כחולים · שולפים 2 בלי החזרה
  1. שלב ראשון: בכד 8 כדורים, מהם 5 אדומים. אם הראשון אדום - הוצאנו אדום אחד.
  2. שלב שני (מותנה): נשארו 7 כדורים, מהם 4 אדומים. זו דיאגרמת עץ: על הענף השני רושמים את ההסתברות המותנית.
  3. P(שני אדום | ראשון אדום) = 47 ≈ 0.57. המאורעות תלויים - השליפה הראשונה שינתה את ההסתברות.
דוגמה 3120 תלמידים · 80 בנים · 60 מהם ספורט ; סה״כ 90 ספורט
  1. נתונים: A = עוסק בספורט, B = בן. מתוך 80 בנים, 60 עוסקים בספורט, ובסך הכול 90 מ-120 עוסקים בספורט.
  2. הסתברות מותנית: P(ספורט | בן) = 6080 = 0.75.
  3. הסתברות רגילה: P(ספורט) = 90120 = 0.75.
  4. מכיוון ש-P(ספורט | בן) = P(ספורט) = 0.75, המאורעות בלתי-תלויים.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - הסתברות מותנית

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: חישוב ישיר של הסתברות מותנית מהנוסחה ומטבלה ; טבלה, עץ ובדיקת אי-תלות ; ניתוח רב-שלבי מהעץ ומהטבלה ; ועד רמת בגרות עם איתור טעות (חלוקה במרחב הלא נכון, החלפה בין P(A|B) ל-P(B|A), וקביעת אי-תלות שגויה). כל השאלות מבוססות על הכללים של כיתה יא׳ 5 יח״ל. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הטבלה" שמחשבת P(A|B) ובודקת אי-תלות. רשמו תשובות עשרוניות (למשל 0.75), בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1הנוסחה: P(A|B) = P(A∩B) / P(B) - חיתוך חלקי המרחב המצומצם.
  • 2טבלה: P(A|B) = תא החיתוך חלקי סכום שורת/עמודת B (למשל 3040 = 0.75).
  • 3עץ: על כל ענף הסתברות מותנית ; מכפילים לאורך המסלול (למשל 47 בשליפה בלי החזרה).
  • 4בלתי-תלויים: P(A|B) = P(A), ואז P(A∩B) = P(A)·P(B).
  • 5תלויים: P(A|B) ≠ P(A) - המידע החדש שינה את ההסתברות.
ההסתברות המותנית במבט אחד
הכליהכללדוגמה
הנוסחהחיתוך חלקי המרחב המצומצםP(A|B) = P(A∩B) / P(B)
טבלהתא החיתוך חלקי סכום העמודה3040 = 0.75
עץ (בלי החזרה)ענף מותנה מעודכן47 ≈ 0.57
בלתי-תלוייםP(A|B) שווה ל-P(A)0.75 = 0.75
תלוייםP(A|B) שונה מ-P(A)0.75 ≠ 0.6
מפתח פתרונות (תרגול)

    הסתברות מותנית. המרחב מצטמצם לתנאי, ולכן המכנה אינו השלם המקורי.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי