הסתברות מותנית - מה המידע החדש משנה
כשמקבלים מידע חדש, ההסתברות משתנה. אם ידוע שמאורע B קרה, ההסתברות למאורע A מצטמצמת אל תוך B: P(A|B) = P(A∩B) / P(B). בדף הזה נחשב הסתברות מותנית מטבלה דו-ממדית ומדיאגרמת עץ, נזהה מאורעות תלויים ובלתי-תלויים, ונפתור שאלות בגרות של 5 יח״ל. הזיזו את הספירות במעבדה וראו איך התא הצבוע ו-P(A|B) משתנים יחד.
100 אנשים בחדר, 40 מהם גברים. נבחר אדם אקראי - ההסתברות שהוא מרכיב משקפיים היא מספר אחד. אבל אם כבר ידוע שהאדם שנבחר הוא גבר, המרחב מצטמצם: כעת בוחרים רק מבין 40 הגברים. אם 30 מהם מרכיבים משקפיים, ההסתברות שהגבר הזה מרכיב משקפיים היא 3040 = 0.75. זו הסתברות מותנית - P(משקפיים | גבר): המידע "גבר" מקטין את מרחב המדגם, ולכן ההסתברות משתנה. בדף הזה נלמד לחשב אותה תמיד לפי אותו נוסחה.
האנטומיה של הסתברות מותנית
הסתברות מותנית P(A|B) נקראת "ההסתברות ל-A בהינתן ש-B קרה". הנוסחה תמיד זהה: לוקחים את מה שגם ב-A וגם ב-B (החיתוך A∩B) ומחלקים בכל B. בטבלה דו-ממדית זה פשוט: P(A|B) הוא תא החיתוך חלקי סכום השורה או העמודה של B. הנה המפה על דוגמה - טבלה של 100 אנשים:
מה מרכיב הסתברות מותנית
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בהסתברות מותנית ובמאורעות תלויים, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את הספירות בטבלה תוך כדי קריאה, וצפו איך P(A|B) ובדיקת אי-התלות משתנים.
נוסחת ההסתברות המותנית
ההסתברות ל-A בהינתן B היא P(A|B) = P(A∩B)P(B). מחלקים את החיתוך במרחב המצומצם B. חובה ש-P(B) > 0.
טבלה דו-ממדית
בטבלה של ספירות, P(A|B) הוא תא החיתוך חלקי סכום השורה או העמודה של B. בדוגמה: P(משקפיים|גבר) = 3040 = 0.75 - 30 גברים עם משקפיים מתוך 40 הגברים.
דיאגרמת עץ
עץ הסתברות מציג שלב אחרי שלב. על כל ענף רושמים הסתברות מותנית, ומכפילים לאורך המסלול. מכד עם 5 אדומים ו-3 כחולים בלי החזרה: לאחר אדום ראשון נשארו 4 אדומים מתוך 7, ולכן P(שני אדום | ראשון אדום) = 47.
מאורעות תלויים
מאורעות תלויים אם קרות של אחד משנה את ההסתברות של השני. בשליפה בלי החזרה מהכד המאורעות תלויים: P(שני אדום | ראשון אדום) = 47 שונה מ-P(שני אדום) ללא ידע.
מאורעות בלתי-תלויים
מאורעות בלתי-תלויים אם המידע לא משנה כלום: P(A|B) = P(A). במקרה זה גם P(A∩B) = P(A)·P(B) - הכפל הפשוט תקף.
בדיקת אי-תלות
כדי לבדוק, משווים: מחשבים P(A|B) ואת P(A). אם הם שווים - בלתי-תלויים; אם שונים - תלויים. שקילות: בודקים אם P(A∩B) = P(A)·P(B).
דוגמאות פתורות
שלוש שאלות פתורות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: מזהים את A ואת B, מוצאים את החיתוך, ומחלקים ב-P(B).
- זיהוי המאורעות: A = מרכיב משקפיים, B = גבר. מבקשים P(A|B) = ההסתברות למשקפיים בהינתן שהאדם גבר.
- מרחב מצומצם: ידוע שהאדם גבר, ולכן מסתכלים רק על 40 הגברים - זהו P(B) כספירה.
- חיתוך: מבין 40 הגברים, 30 מרכיבים משקפיים - זהו A∩B.
- P(משקפיים | גבר) = 3040 = 0.75.
- שלב ראשון: בכד 8 כדורים, מהם 5 אדומים. אם הראשון אדום - הוצאנו אדום אחד.
- שלב שני (מותנה): נשארו 7 כדורים, מהם 4 אדומים. זו דיאגרמת עץ: על הענף השני רושמים את ההסתברות המותנית.
- P(שני אדום | ראשון אדום) = 47. המאורעות תלויים - השליפה הראשונה שינתה את ההסתברות.
- נתונים: A = עוסק בספורט, B = בן. מתוך 80 בנים, 60 עוסקים בספורט, ובסך הכול 90 מ-120 עוסקים בספורט.
- הסתברות מותנית: P(ספורט | בן) = 6080 = 0.75.
- הסתברות רגילה: P(ספורט) = 90120 = 0.75.
- מכיוון ש-P(ספורט | בן) = P(ספורט) = 0.75, המאורעות בלתי-תלויים.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (הסתברות מותנית ישירה), יישום (טבלה, עץ, בדיקת אי-תלות), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הטבלה".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הנוסחה: P(A|B) = P(A∩B) / P(B) - חיתוך חלקי המרחב המצומצם.
- 2טבלה: P(A|B) = תא החיתוך חלקי סכום שורת/עמודת B (למשל 3040 = 0.75).
- 3עץ: על כל ענף הסתברות מותנית; מכפילים לאורך המסלול (למשל 47 בשליפה בלי החזרה).
- 4בלתי-תלויים: P(A|B) = P(A), ואז P(A∩B) = P(A)·P(B).
- 5תלויים: P(A|B) ≠ P(A) - המידע החדש שינה את ההסתברות.
