תרגול אינדוקציה מתמטית
כל מה שלמדנו על הוכחה באינדוקציה - בסיס (מציבים n = 1 ובודקים ששני האגפים שווים), הנחת האינדוקציה (מניחים שהטענה נכונה עבור n), וצעד (מוסיפים את האיבר הבא ומוכיחים עבור n + 1) - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מבדיקת בסיס וחישוב סכום ישיר ועד הוכחה מלאה ואיתור טעות ברמת בגרות, על שלוש נוסחאות: 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2, 1 + 3 + ... + (2n - 1) = n² ו1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6. זכרו: קודם בסיס, ואז צעד - וכמו שרשרת דומינו, שני שלבים סוגרים אינסוף מקרים.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון. זכרו את שני השלבים: בסיס - מציבים n = 1 ובודקים ששני האגפים שווים; צעד - מניחים ל-n, מוסיפים את האיבר הבא, ומפשטים עד לצורה עם n + 1. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". בסיס · האיבר הבא · פישוט הצעד
איך מוכיחים טענה עבור אינסוף מקרים בשני שלבים? קחו את הנוסחה 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2. אי אפשר לבדוק אותה עבור כל n בנפרד - יש אינסוף. אבל מספיק לוודא שני דברים: (1) הנוסחה נכונה עבור n = 1 (הבסיס: 1 = 1·22), ו-(2) אם היא נכונה עבור n אז היא נכונה גם עבור n + 1 (הצעד). נזכיר כאן את השלבים, ואז לתרגול המדורג. זכרו: בסיס מפיל את האבן הראשונה, צעד מפיל את כל השאר - וכך כל אבני הדומינו נופלות.
האנטומיה של הוכחה באינדוקציה - תזכורת
נזכר שוב בשיטה: לכל הוכחה באינדוקציה יש בדיוק אותם שני שלבים. בסיס: מציבים n = 1 ובודקים ששני האגפים שווים. צעד: מניחים שהטענה נכונה עבור n (הנחת האינדוקציה), מוסיפים את האיבר הבא לשני האגפים ומפשטים עד שמתקבל אגף ימין עם n + 1 במקום n. הנה המפה על הדוגמה 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 - שבה הפישוט בצעד הוא n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל הוכחה באינדוקציה של 5 יח״ל, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מניסוח הטענה, דרך הבסיס, ההנחה והצעד, ועד הפישוט האלגברי והמסקנה. ואז לתרגול המדורג.
הטענה P(n)
מנסחים במדויק את מה שרוצים להוכיח לכל n טבעי. למשל P(n): 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2. זו טענה אחת עם משתנה n, ולא אינסוף טענות נפרדות.
שלב הבסיס
בודקים שהטענה נכונה עבור n = 1. מציבים ומשווים: אגף שמאל = 1, אגף ימין = 1·22 = 1. שווים - הבסיס מתקיים. זו האבן הראשונה שנופלת.
הנחת האינדוקציה
מניחים שהטענה נכונה עבור n מסוים: 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2. זו ההנחה שממנה יוצאים - איננו מוכיחים אותה, אלא משתמשים בה.
שלב הצעד
מוכיחים שאם הטענה נכונה עבור n, היא נכונה גם עבור n + 1. מוסיפים את האיבר הבא (n + 1) לשני האגפים ומפשטים עד שמתקבל אגף ימין עם n + 1 במקום n.
הפישוט האלגברי
לב הצעד. מ-n(n+1)/2 + (n+1) מוציאים גורם משותף (n+1): (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2 - בדיוק הנוסחה עבור n + 1, כנדרש.
המסקנה
אם הבסיס מתקיים והצעד מתקיים, אז לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל n טבעי. כל אבני הדומינו נופלות - שני שלבים סוגרים אינסוף מקרים.
דוגמאות פתורות
שלוש הוכחות מלאות באינדוקציה, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: מנסחים P(n), בודקים בסיס, מניחים ל-n, מוסיפים את האיבר הבא ומפשטים עד לצורה של n + 1. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- בסיס (n = 1): אגף שמאל = 1; אגף ימין = 1·22 = 1. שווים ✓
- הנחה: נניח שעבור n מתקיים 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.
- צעד: מוסיפים (n + 1) לשני האגפים: 1 + ... + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1).
- פישוט: מוציאים (n+1) משותף: (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2 - בדיוק הנוסחה עבור n + 1.
- הבסיס והצעד מתקיימים, ולכן לפי עקרון האינדוקציה 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 לכל n טבעי.
- בסיס (n = 1): אגף שמאל = 1; אגף ימין = 1² = 1. שווים ✓
- הנחה: נניח שעבור n מתקיים 1 + 3 + ... + (2n - 1) = n².
- צעד: האיבר הבא הוא 2(n+1) - 1 = 2n + 1. מוסיפים אותו: n² + (2n + 1).
- פישוט: n² + 2n + 1 = (n + 1)² - בדיוק הנוסחה עבור n + 1.
- הבסיס והצעד מתקיימים, ולכן 1 + 3 + ... + (2n - 1) = n² לכל n טבעי.
- בסיס (n = 1): אגף שמאל = 1; אגף ימין = 1·2·36 = 1. שווים ✓
- הנחה: נניח שעבור n מתקיים 1² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6.
- צעד: מוסיפים (n + 1)²: n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)². מוציאים (n+1)/6 משותף: (n+1)[n(2n+1) + 6(n+1)]/6.
- פישוט: n(2n+1) + 6(n+1) = 2n² + 7n + 6 = (n+2)(2n+3), אז מקבלים (n+1)(n+2)(2n+3)/6 - בדיוק הנוסחה עבור n + 1.
- הבסיס והצעד מתקיימים, ולכן 1² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6 לכל n טבעי.
תרגול מדורג - אינדוקציה מתמטית
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסוד (בדיקת בסיס וחישוב סכום ישיר), יישום (זיהוי האיבר הבא וערך הצעד), רמה מוגברת (פישוט הצעד ועקרון הדומינו), ועד רמת בגרות - הוכחה מלאה ואיתור טעות. כל השאלות מבוססות על שלוש הנוסחאות שלמעלה, והתשובות יוצאות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "בודק האינדוקציה" שבודקת בסיס, ערך ב-n, וצעד ל-n+1 לכל אחת מהנוסחאות. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1שני שלבים: בסיס (n=1) ו-צעד (מ-n ל-n+1) - יחד מוכיחים לכל n טבעי.
- 2בסיס: מציבים n = 1 ומראים ששני האגפים שווים.
- 3הנחה: מניחים שהטענה נכונה עבור n - ומשתמשים בה, לא מוכיחים אותה.
- 4צעד: מוסיפים את האיבר הבא לשני האגפים ומפשטים עד לצורה עם n + 1.
- 5דוגמאות מפתח: n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2 · n² + (2n+1) = (n+1)².
