תרגול האינטגרל והמשפט היסודי
כל מה שלמדנו על האינטגרל של 5 יח״ל, עכשיו לתרגול: מהאינטגרל הלא-מסוים ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c - חיפוש פונקציה קדומה F שגזירתה מחזירה את f, ותוספת הקבוע + c - דרך המשפט היסודי ∫ₐᵇ f = F(b) - F(a) שהופך את האינטגרל המסוים למספר, ועד השטח שמתחת לגרף אי-שלילי, שבו השטח שווה בדיוק לאינטגרל. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מקדומה ואינטגרל ישיר ועד שאלה רב-שלבית ואיתור טעות ברמת בגרות.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון - ערך של אינטגרל מסוים F(b)-F(a), או שטח שמתחת לגרף (כשהפונקציה אי-שלילית בקטע). השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". אינטגרל מסוים ∫ₐᵇf(x)dx = F(b)-F(a) · קדומה לפי כלל החזקה ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c · לפונקציה אי-שלילית השטח = ערך האינטגרל
אותה שיטה, כל אינטגרל. מבקשים אינטגרל לא-מסוים כמו ∫(3x² - 4x + 1)dx? מוצאים פונקציה קדומה ומוסיפים + c. מבקשים אינטגרל מסוים כמו ∫₀³ 2x dx? מוצאים קדומה F ומחשבים F(b) - F(a) - וזה מספר. וכשהפונקציה אי-שלילית בקטע, אותו מספר הוא בדיוק השטח שמתחת לגרף. נרענן כאן את השיטה, ואחר כך לתרגול המדורג.
האנטומיה של האינטגרל המסוים - תזכורת
נזכר במבנה: מוצאים פונקציה קדומה F (מעלים את החזקה ומחלקים במעריך החדש), מציבים את הגבול העליון b ואת הגבול התחתון a, ומחסרים F(b) - F(a). הנה המפה על הדוגמה ∫₀³ 2x dx = 9 - השטח המשולש שמתחת לישר y = 2x מ-0 עד 3:
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מהאינטגרל והמשפט היסודי של 5 יח״ל, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהאינטגרל כפעולה הפוכה לגזירה וכלל החזקה, דרך הקבוע c והמשפט היסודי, ועד ההצטברות וחישוב השטח בפועל. ואז לתרגול המדורג.
האינטגרל כפעולה הפוכה לגזירה
פונקציה קדומה F היא פונקציה שגזירתה מחזירה את f. אינטגרל פירושו לחפש את F. למשל הקדומה של 2x היא x², כי גוזרים את x² ומקבלים 2x.
כלל החזקה לאינטגרל
לכל חזקה מעלים ב-1 ומחלקים במעריך החדש: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c. למשל ∫x²dx = x³/3 + c. גוזרים חזרה כדי לוודא שמקבלים x².
קבוע האינטגרציה c
באינטגרל הלא-מסוים כל הקדומות נבדלות רק בקבוע, ולכן מוסיפים + c. למשל ∫(3x² - 4x + 1)dx = x³ - 2x² + x + c - גוזרים אותה ומקבלים בדיוק את 3x² - 4x + 1.
המשפט היסודי
האינטגרל המסוים מחשב מספר בעזרת קדומה בלבד: ∫ₐᵇ f = F(b) - F(a). מציבים את הגבול העליון פחות הגבול התחתון. הכתיב המקוצר: [F(x)]ₐᵇ = F(b) - F(a).
האינטגרל כפונקציית הצטברות
ככל שהגבול העליון x גדל, ∫₀ˣ f צובר עוד שטח. זו פונקציה של הגבול העליון, וגזירתה מחזירה את f - לב המשפט היסודי, הקושר צבירת שטח לגזירה.
שטח מתחת לגרף
כשהפונקציה אי-שלילית בקטע, השטח שמתחת לגרף שווה בדיוק לאינטגרל המסוים. בדוגמה 2x ≥ 0 בקטע [0, 3], ולכן השטח הוא ∫₀³ 2x dx = 9.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: מוצאים קדומה, ובאינטגרל מסוים מציבים גבולות ומחסרים F(b) - F(a). באינטגרל לא-מסוים לא שוכחים + c.
- קדומה: ∫2x dx = x², כי גוזרים את x² ומקבלים 2x.
- הצבת גבולות: לפי המשפט היסודי [x²]₀³ = F(3) - F(0).
- חיסור: 3² - 0² = 9 - 0 = 9.
- ∫₀³ 2x dx = 9 - השטח שבין הגרף לציר ה-x מ-0 עד 3.
- איבר-איבר: ∫3x²dx = x³, ∫(-4x)dx = -2x², ∫1 dx = x.
- מוסיפים קבוע: באינטגרל לא-מסוים מצרפים + c.
- בדיקה בגזירה: גוזרים את x³ - 2x² + x + c ומקבלים בדיוק 3x² - 4x + 1.
- ∫(3x² - 4x + 1)dx = x³ - 2x² + x + c.
- קדומה: לפי כלל החזקה ∫x²dx = x³/3.
- הצבת גבולות: [x³/3]₁² = F(2) - F(1) = 83 - 13.
- חיסור: 83 - 13 = 73.
- ∫₁² x² dx = 73 ≈ 2.33.
תרגול מדורג - האינטגרל והמשפט היסודי
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסוד (קדומה ואינטגרל ישיר לפי כלל החזקה); יישום (אינטגרל מסוים ושטח מתחת לגרף אי-שלילי); מוגברת (קדומה, קבוע ופולינום); ועד רמת בגרות - שאלה רב-שלבית ואיתור טעות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר האינטגרל" שמחשב אינטגרל מסוים ושטח עבור f = ax² + bx + c. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הפוך לגזירה: קדומה F שגזירתה מחזירה את f.
- 2כלל החזקה: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c.
- 3קבוע: באינטגרל לא-מסוים תמיד מוסיפים + c.
- 4המשפט היסודי: ∫ₐᵇ f = F(b) - F(a) - הגבול העליון פחות התחתון.
- 5שטח: כשהפונקציה אי-שלילית בקטע, השטח שמתחת לגרף שווה לאינטגרל המסוים.
| הכלל | הניסוח | דוגמה |
|---|---|---|
| כלל החזקה | ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c | ∫x²dx = x³/3 + c |
| קבוע האינטגרציה | באינטגרל לא-מסוים מוסיפים + c | ∫2x dx = x² + c |
| המשפט היסודי | ∫ₐᵇf = F(b) - F(a) | ∫₀³2x dx = 9 |
| שטח (f אי-שלילית) | השטח שווה לאינטגרל המסוים | ∫₁²x²dx = 73 |
| הצטברות | גזירת ∫₀ˣf מחזירה את f | A(x) = ∫₀ˣf(t)dt |
