שטח שמצטבר תחת הגרף
אינטגרל הוא פעולה הפוכה לגזירה: מחפשים פונקציה קדומה F שהנגזרת שלה היא f. באינטגרל הלא-מסוים ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c מוסיפים קבוע c, ובאינטגרל המסוים המשפט היסודי אומר ∫ₐᵇf = F(b) − F(a) - בדיוק השטח שנצבר בין הגרף לציר ה-x מ-a עד b. הזיזו את הגבול העליון במעבדה וראו את השטח המצטבר גדל בזמן אמת.
כמה שטח כבר נצבר? דמיינו שאתם ממלאים בריכה, והספיקה משתנה עם הזמן לפי הפונקציה f. בכל רגע הכמות הכוללת שהצטברה עד עכשיו היא בדיוק השטח שמתחת לגרף של f, מהתחלה ועד לנקודה הזו. ככל שהגבול העליון זז ימינה - נצבר עוד שטח. המשפט היסודי של החדו״א מגלה קיצור דרך מדהים: במקום לספור ריבועים, מספיק למצוא פונקציה קדומה F ולחשב F(b) − F(a). זו הגזירה ההפוכה - הכלי שממיר צבירה איטית לחשבון של שתי הצבות.
האנטומיה של האינטגרל המסוים
לכל אינטגרל מסוים אותם שלבים בדיוק: מוצאים פונקציה קדומה F (מעלים את החזקה ומחלקים במעריך החדש), מציבים את הגבול העליון b ואת הגבול התחתון a, ומחסרים F(b) − F(a). הנה המפה המלאה על הדוגמה ∫₀³ 2x dx = [x²]₀³ = 9:
מה מרכיב את האינטגרל
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בחישוב אינטגרלים, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את הגבול העליון תוך כדי קריאה, וצפו איך השטח המצטבר ∫₀ˣ f גדל ומצטבר.
האינטגרל כפעולה הפוכה לגזירה
פונקציה קדומה F היא פונקציה שגזירתה מחזירה את f: F'(x) = f(x). אינטגרל פירושו לחפש את F. למשל הקדומה של 2x היא x², כי (x²)' = 2x.
כלל החזקה לאינטגרל
לכל חזקה מעלים ב-1 ומחלקים במעריך החדש: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c. למשל ∫x²dx = x³/3 + c. גוזרים חזרה כדי לוודא: (x³/3)' = x².
קבוע האינטגרציה c
באינטגרל הלא-מסוים כל הקדומות נבדלות רק בקבוע, ולכן מוסיפים + c. למשל ∫(3x² − 4x + 1)dx = x³ − 2x² + x + c - גוזרים אותה ומקבלים בדיוק את 3x² − 4x + 1.
המשפט היסודי
האינטגרל המסוים מחשב שטח בעזרת קדומה בלבד: ∫ₐᵇf = F(b) − F(a). מציבים את הגבול העליון פחות הגבול התחתון. הכתיב המקוצר: [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a).
האינטגרל כפונקציית הצטברות
ככל שהגבול העליון x גדל, ∫₀ˣ f צובר עוד שטח. זו פונקציה של הגבול העליון, וגזירתה מחזירה את f - לב המשפט היסודי, הקושר צבירת שטח לגזירה.
חישוב השטח בפועל
מחברים הכול: מוצאים קדומה, מציבים גבולות, מחסרים. בדוגמה ∫₁² x²dx = [x³/3]₁² = 83 − 13 = 73 - הקדומה x³/3 בגבול 2 פחות בגבול 1.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: מוצאים קדומה, ובאינטגרל מסוים מציבים גבולות ומחסרים F(b) − F(a).
- קדומה: ∫2x dx = x², כי (x²)' = 2x.
- הצבת גבולות: לפי המשפט היסודי [x²]₀³ = F(3) − F(0).
- חיסור: 3² − 0² = 9 − 0 = 9.
- ∫₀³ 2x dx = 9 - השטח בין הגרף לציר ה-x מ-0 עד 3.
- איבר-איבר: ∫3x²dx = x³, ∫(−4x)dx = −2x², ∫1 dx = x.
- מוסיפים קבוע: באינטגרל לא-מסוים מצרפים + c.
- בדיקה בגזירה: (x³ − 2x² + x + c)' = 3x² − 4x + 1 - בדיוק המבוקש.
- ∫(3x² − 4x + 1)dx = x³ − 2x² + x + c.
- קדומה: לפי כלל החזקה ∫x²dx = x³/3.
- הצבת גבולות: [x³/3]₁² = F(2) − F(1) = 83 − 13.
- חיסור: 83 − 13 = 73.
- ∫₁² x² dx = 73 ≈ 2.33.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (קדומה ואינטגרל ישיר), יישום (אינטגרל מסוים ושטח), ורמת בגרות (חישוב מלא עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר האינטגרל".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הפוך לגזירה: קדומה F מקיימת F'(x) = f(x).
- 2כלל החזקה: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c.
- 3קבוע: באינטגרל לא-מסוים תמיד מוסיפים + c.
- 4המשפט היסודי: ∫ₐᵇf = F(b) − F(a) - הגבול העליון פחות התחתון.
- 5הצטברות: ∫₀ˣ f הוא השטח שנצבר עד x, וגזירתו מחזירה את f.
