נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יא׳ · 5 יח״ל 5 יחידות
סדרות חשבוניות, הנדסיות וטורים · תרגול מדורג

תרגול סדרות וטורים

הסדרה החשבונית אינה נלמדת ואינה נבחנת בתשפ״ז. מדובר בשאלון 571. מה שכתוב עליה כאן נשאר כהעשרה למי שרוצה להבין אותה, ולא כחומר לבחינה, ואין עליה אף שאלה בתרגול. מה שכן נבחן בפרק הסדרות של השאלון: הסדרה הכללית, הסדרה ההנדסית, הסכום החלקי שלה, והטור ההנדסי האינסופי המתכנס.
כל מה שלמדנו על סדרות וטורים - סדרה חשבונית aₙ = a₁ + (n-1)d, הסכום החשבוני Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 (העשרה בלבד), סדרה הנדסית aₙ = a₁·qn−1, הסכום ההנדסי Sₙ = a₁(qn - 1)/(q - 1) והטור האינסופי המתכנס S = a₁/(1 - q) - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מאבר וסכום ישיר ועד טור מתכנס ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו: קודם מזהים איזו סדרה לפנינו ואיזו נוסחה מתאימה לה - ובטור אינסופי בודקים תחילה שהיחס מקיים |q| < 1.

מעבדת הסדרות - בחרו את התשובה בחרו בכל שורה את הערך הנכון - אבר, סכום חלקי, סכום טור אינסופי או התכנסות

בכל שורה בחרו את הערך הנכון. קודם מזהים אם הסדרה חשבונית (מוסיפים d) או הנדסית (מכפילים ב-q), ואז בוחרים את הנוסחה: אבר כללי, סכום חלקי, או - בטור אינסופי - בודקים תחילה ש-|q| < 1 ומחשבים את הגבול. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". חשבונית · הנדסית · סכום חלקי · טור אינסופי

אפשר לחבר אינסוף מספרים ולקבל מספר סופי? קחו את הטור 1 + 12 + 14 + 18 + ... - סדרה הנדסית עם q = 12. הסכומים החלקיים 1, 1.5, 1.75, 1.875, ... מתקרבים יותר ויותר ל-2 בלי לעבור אותו אף פעם. זה בדיוק מה שאומרת נוסחת הטור המתכנס: כאשר |q| < 1 מתקיים S = a₁/(1 - q) = 1/(1 - 12) = 2. נזכיר כאן את הנוסחאות, ומשם לתרגול המדורג. זכרו: חשבונית מוסיפה d, הנדסית מכפילה ב-q, וטור אינסופי מתכנס רק אם |q| < 1.

מבט מקרוב

האנטומיה של סכום סדרה - תזכורת

נזכר שוב בשיטה: לכל סדרה יש אבר ראשון וכלל התקדמות - בחשבונית מוסיפים הפרש קבוע d, בהנדסית מכפילים ביחס קבוע q. מהכלל נובעים גם האבר הכללי וגם הסכום החלקי. העשרה · לא נבחן בתשפ״ז הנה המפה על דוגמה - סדרה חשבונית עם a₁ = 4 ו-d = 3, שסכום עשרים אבריה הראשונים הוא S₂₀ = 650 (בשיטת גאוס: כל זוג קצוות מסתכם ל-65).

בניית הסכום - חשבונית a₁ = 4, d = 3 → S₂₀ = 650
שיטת גאוס: כל זוג קצוות מסתכם ל-65 a₁ + a₂₀ = 4 + 61 = 65 , a₂ + a₁₉ = 7 + 58 = 65 , … a₁ = 4 a₂₀ = 61 = 65 a₂ = 7 a₁₉ = 58 = 65 a₃ = 10 a₁₈ = 55 = 65 … וכך הלאה - 10 זוגות, כל אחד שווה 65 … S₂₀ = 20·(4 + 61)/2 = 10 · 65 S₂₀ = 650
תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל שאלת סדרות וטורים של 5 יח״ל, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהסדרה החשבונית (העשרה, אינה נבחנת בתשפ״ז), דרך הסדרה ההנדסית וסכומיהן, ועד הטור האינסופי המתכנס ותנאי ההתכנסות. ואז לתרגול המדורג.

1

סדרה חשבונית

העשרה · לא נבחן בתשפ״ז כל אבר גדול מקודמו בהפרש קבוע d. האבר הכללי הוא aₙ = a₁ + (n-1)d. למשל עם a₁ = 4 ו-d = 3 מקבלים 4, 7, 10, 13, ..., והאבר העשרים הוא a₂₀ = 4 + 19·3 = 61.

2

סכום סדרה חשבונית

העשרה · לא נבחן בתשפ״ז הסכום החלקי הוא ממוצע האבר הראשון והאחרון כפול מספר האברים: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. בדוגמה S₂₀ = 20(4 + 61)/2 = 20·652 = 650.

3

סדרה הנדסית

כל אבר הוא קודמו כפול יחס קבוע q. האבר הכללי הוא aₙ = a₁·qn−1. למשל עם a₁ = 3 ו-q = 2 מקבלים 3, 6, 12, 24, 48, ..., והאבר החמישי הוא a₅ = 3·2⁴ = 48.

4

סכום סדרה הנדסית

הסכום החלקי הוא Sₙ = a₁(qn - 1)/(q - 1) (עבור q שונה מ-1). בדוגמה S₅ = 3(2⁵ - 1)/(2 - 1) = 3·31 = 93.

5

טור הנדסי אינסופי מתכנס

כאשר |q| < 1 האברים דועכים והסכום החלקי מתייצב על גבול סופי: S = a₁/(1 - q). עם a₁ = 8 ו-q = 12: S = 8/(1 - 12) = 16.

6

מתי הטור מתכנס

הנוסחה S = a₁/(1 - q) תקפה רק כאשר |q| < 1 - אז qn → 0. אם |q| >= 1 האברים אינם דועכים והטור מתבדר. הטור 1 + 12 + 14 + ... מקיים q = 12 ולכן מתכנס ל-2.

חשבונית · +d
הפרש קבוע d - האברים גדלים בקצב אחיד
הנדסית · ×q
יחס קבוע q - האברים מוכפלים (או דועכים)
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל - סכום חשבוני, סכום הנדסי וטור אינסופי מתכנס. שימו לב לבחירת הנוסחה הנכונה לכל סוג סדרה. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1העשרה · לא נבחן בתשפ״ז חשבונית: a₁ = 4, d = 3 - מצאו את S₂₀
  1. האבר האחרון: לפי aₙ = a₁ + (n-1)d מקבלים a₂₀ = 4 + 19·3 = 4 + 57 = 61.
  2. הצבה בנוסחת הסכום: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, כלומר S₂₀ = 20(4 + 61)/2.
  3. חישוב: S₂₀ = 20·652 = 10·65 = 650.
  4. סכום עשרים האברים הראשונים הוא S₂₀ = 650.
דוגמה 2הנדסית: a₁ = 3, q = 2 - מצאו את S₅
  1. זיהוי: יחס קבוע q = 2, ולכן משתמשים ב-Sₙ = a₁(qn - 1)/(q - 1).
  2. הצבה: S₅ = 3(2⁵ - 1)/(2 - 1) = 3(32 - 1)/1.
  3. חישוב: S₅ = 3·31 = 93.
  4. סכום חמשת האברים הראשונים הוא S₅ = 93.
דוגמה 3טור אינסופי: a₁ = 8, q = 12 - מצאו את הסכום S
  1. בדיקת התכנסות: q = 12 מקיים |q| < 1, ולכן הטור מתכנס והנוסחה S = a₁/(1 - q) תקפה.
  2. הצבה: S = 8/(1 - 12) = 8/(12).
  3. חישוב: S = 8·2 = 16.
  4. סכום הטור האינסופי הוא S = 16. (אילו |q| >= 1 הטור היה מתבדר.)
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - סדרות וטורים

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסוד (אבר או סכום ישיר), יישום (בעיה רב-שלבית), רמה מוגברת (טור מתכנס וזיהוי סדרה), ועד רמת בגרות - שאלה רב-שלבית ואיתור טעות. כל השאלות מבוססות על הנוסחאות שלמעלה, והתשובות יוצאות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הסדרות" שמחשבת אבר, סכום חלקי וסכום טור אינסופי לסדרה חשבונית או הנדסית. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1העשרה · לא נבחן בתשפ״ז חשבונית: aₙ = a₁ + (n-1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 - הפרש קבוע d.
  • 2הנדסית: aₙ = a₁·qn−1, Sₙ = a₁(qn - 1)/(q - 1) - יחס קבוע q.
  • 3טור מתכנס: אם |q| < 1 אז S = a₁/(1 - q); אם |q| >= 1 הטור מתבדר.
  • 4קודם מזהים: חשבונית או הנדסית? ובטור אינסופי - בודקים תחילה ש-|q| < 1.
  • 5דוגמאות מפתח: S₅ = 93, S₂₀ = 650 (העשרה, לא נבחן בתשפ״ז), 1 + 12 + 14 + ... = 2.
מפתח פתרונות (תרגול)

    היי, אני סיגמא! זה דף תרגול. גללו לתזכורת קצרה, ואז לתרגול המדורג. אני כאן עם טיפ בכל שלב - מהאבר הראשון ועד הטור האינסופי.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי