נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יא׳ · 5 יח״ל 5 יחידות
סדרות חשבוניות, הנדסיות וטורים

סדרות וטורים - מאבר ל-סכום

הסדרה החשבונית אינה נלמדת ואינה נבחנת בתשפ״ז. מדובר בשאלון 35571. מה שכתוב כאן על הסדרה החשבונית נשאר כהעשרה בלבד, והתרגול בדף אינו כולל אותה. מה שכן נלמד ונבחן בשאלון: מבוא לסדרות, סדרה הנדסית (אבר כללי, כלל נסיגה, תכונות וסדרת הסכומים החלקיים) וסכום אינסוף אברים כאשר הטור ההנדסי מתכנס.
סדרה חשבונית מתקדמת בהפרש קבוע d, וסדרה הנדסית ביחס קבוע q. עם ארבע נוסחאות מרכזיות - aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, aₙ = a₁qⁿ⁻¹ ו-Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1) - מחשבים כל אבר וכל סכום חלקי. וכשהיחס מקיים |q| < 1, הסכום החלקי מתייצב על גבול סופי: S = a₁/(1 − q). במעבדה תראו את הסכומים החלקיים בונים את עצמם, ואת הטור ההנדסי המתכנס נצמד לגבולו.

מעבדת הסדרות והטורים שנו a₁, d או q וצפו באברים ובסכומים החלקיים Sₙ
חשבונית: a₁ = 4 , d = 3
aₙ = 4 + (n−1)·3 סכום S₈ = 116 אבר אחרון a₈ = 25 -
אבר ראשון a₁4
הפרש d (חשבונית)3
מספר אברים n8

אפשר לחבר אינסוף מספרים ולקבל מספר סופי? קחו את הטור 1 + ½ + ¼ + ⅛ + …. כל אבר חצי מקודמו - סדרה הנדסית עם q = ½. הסכומים החלקיים הם 1, 1½, 1¾, 1⅞, …, והם מתקרבים יותר ויותר ל-2 בלי לעבור אותו אף פעם. זה בדיוק מה שאומרת נוסחת הטור האינסופי המתכנס: כש-|q| < 1, S = a₁/(1 − q) = 1/(1 − ½) = 2. בדף הזה נבנה את התמונה מהיסוד - סדרה חשבונית, סדרה הנדסית, וטור מתכנס.

מבט מקרוב

האנטומיה של סדרה וסכומה

העשרה: המפה שלמטה בנויה על סדרה חשבונית, והיא אינה נלמדת ואינה נבחנת בשאלון 35571 בתשפ״ז. הרעיון עצמו, אבר ראשון ועוד כלל התקדמות ומהם האבר הכללי והסכום החלקי, הוא בדיוק הרעיון שחוזר בסדרה ההנדסית שבהמשך. לכל סדרה יש אבר ראשון וכלל התקדמות: בחשבונית מוסיפים הפרש קבוע d, בהנדסית מכפילים ביחס קבוע q. מהכלל הזה נובעים גם האבר הכללי וגם הסכום החלקי. הנה המפה על דוגמה - סדרה חשבונית עם a₁ = 4 ו-d = 3, שסכום עשריה הראשונים אבריה עד n = 20 הוא S₂₀ = 650:

בניית הסכום - חשבונית a₁ = 4, d = 3 → S₂₀ = 650
שיטת גאוס: כל זוג קצוות מסתכם ל-65 a₁ + a₂₀ = 4 + 61 = 65 , a₂ + a₁₉ = 7 + 58 = 65 , … a₁ = 4 a₂₀ = 61 = 65 a₂ = 7 a₁₉ = 58 = 65 a₃ = 10 a₁₈ = 55 = 65 … וכך הלאה - 10 זוגות, כל אחד שווה 65 … S₂₀ = 20·(4 + 61)/2 = 10 · 65 S₂₀ = 650
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב סדרות וטורים

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בסדרות ובטורים. ארבעה מהם, ההנדסית והטור המתכנס, הם מה שנדרש בשאלון 35571 בתשפ״ז; שני הראשונים, על הסדרה החשבונית, מסומנים כהעשרה שאינה נבחנת השנה. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את a₁, את ההפרש d ואת היחס q תוך כדי קריאה, וצפו איך הסכומים החלקיים משתנים.

1

סדרה חשבוניתהעשרה · לא נבחן בתשפ״ז

כל אבר גדול מקודמו בהפרש קבוע d. האבר הכללי הוא aₙ = a₁ + (n − 1)d. למשל עם a₁ = 4 ו-d = 3 מקבלים 4, 7, 10, 13, …, והאבר העשרים הוא a₂₀ = 4 + 19·3 = 61.

2

סכום סדרה חשבוניתהעשרה · לא נבחן בתשפ״ז

הסכום החלקי הוא ממוצע האבר הראשון והאחרון כפול מספר האברים: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. בדוגמה S₂₀ = 20(4 + 61)/2 = 20·652 = 650.

3

סדרה הנדסית

כל אבר הוא קודמו כפול יחס קבוע q. האבר הכללי הוא aₙ = a₁qⁿ⁻¹. למשל עם a₁ = 3 ו-q = 2 מקבלים 3, 6, 12, 24, 48, …, והאבר החמישי הוא a₅ = 3·2⁴ = 48.

4

סכום סדרה הנדסית

הסכום החלקי הוא Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1) (עבור q ≠ 1). בדוגמה S₅ = 3(2⁵ − 1)/(2 − 1) = 3·31 = 93.

5

טור הנדסי אינסופי מתכנס

כאשר |q| < 1 האברים דועכים והסכום החלקי מתייצב על גבול סופי: S = a₁/(1 − q). עם a₁ = 8 ו-q = ¼: S = 8/(1 − ¼) = 323.

6

מתי הטור מתכנס

הנוסחה S = a₁/(1 − q) תקפה רק כאשר |q| < 1 - אז qⁿ → 0. אם |q| ≥ 1 האברים אינם דועכים והסכום מתבדר. הטור 1 + ½ + ¼ + … מקיים q = ½ ולכן מתכנס ל-2.

חשבונית · +d
הפרש קבוע d - האברים גדלים בקצב אחיד
הנדסית · ×q
יחס קבוע q - האברים מוכפלים (או דועכים)
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל - סכום חשבוני (העשרה, לא נבחן בתשפ״ז), סכום הנדסי, וטור אינסופי מתכנס. שימו לב לבחירת הנוסחה הנכונה לכל סוג סדרה.

דוגמה 1חשבונית (העשרה · לא נבחן בתשפ״ז): a₁ = 4, d = 3 - מצאו את S₂₀
  1. האבר האחרון: לפי aₙ = a₁ + (n − 1)d מקבלים a₂₀ = 4 + 19·3 = 4 + 57 = 61.
  2. הצבה בנוסחת הסכום: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, כלומר S₂₀ = 20(4 + 61)/2.
  3. חישוב: S₂₀ = 20·652 = 10·65 = 650.
  4. סכום עשרים האברים הראשונים הוא S₂₀ = 650.
דוגמה 2הנדסית: a₁ = 3, q = 2 - מצאו את S₅
  1. זיהוי: יחס קבוע q = 2, ולכן משתמשים ב-Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
  2. הצבה: S₅ = 3(2⁵ − 1)/(2 − 1) = 3(32 − 1)/1.
  3. חישוב: S₅ = 3·31 = 93.
  4. סכום חמשת האברים הראשונים הוא S₅ = 93.
דוגמה 3טור אינסופי: a₁ = 8, q = ¼ - מצאו את הסכום S
  1. בדיקת התכנסות: q = ¼ מקיים |q| < 1, ולכן הטור מתכנס והנוסחה S = a₁/(1 − q) תקפה.
  2. הצבה: S = 8/(1 − ¼) = 8/(¾).
  3. חישוב: S = 8·(43) = 323 ≈ 10.667.
  4. סכום הטור האינסופי הוא S = 323.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (אבר או סכום ישיר), יישום (בעיה רב-שלבית), ורמת בגרות (טור מתכנס וסדרות משולבות). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הסדרות".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1חשבונית (העשרה, לא נבחן בתשפ״ז): aₙ = a₁ + (n − 1)d - הפרש קבוע d.
  • 2סכום חשבוני (העשרה, לא נבחן בתשפ״ז): Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
  • 3הנדסית: aₙ = a₁qⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1) - יחס קבוע q.
  • 4טור מתכנס: אם |q| < 1 אז S = a₁/(1 − q).
  • 5דוגמאות מפתח שנבחנות: S₅ = 93, 1 + ½ + ¼ + … = 2. (S₂₀ = 650 הוא חשבוני, כלומר העשרה בלבד.)
מפתח פתרונות (תרגול)

    היי! גללו במורד הדף ואני אלווה אתכם עם טיפ בכל שלב - מהאבר הראשון ועד הטור האינסופי.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי