תרגול משוואות טריגונומטריות עם זהויות
כל מה שלמדנו על פתרון משוואה טריגונומטרית בעזרת זהות - מזהים את הזהות שהופכת את הביטוי למשוואה בסיסית, פותרים את הזווית הפנימית 2x על מעגל היחידה בתחום מורחב 0°-720°, מחלקים ב-2 ואוספים את כל הפתרונות בתחום - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מזיהוי זהות ופתרון בסיסי ועד מציאת כל הפתרונות, נימוק ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את הלב של הכול: כש-x רץ עד 360°, הזווית 2x רצה עד 720° - שני סיבובים, ולכן פעמיים פתרונות.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון: מזהים את הזהות שהופכת את הביטוי למשוואה בסיסית, פותרים את הזווית הפנימית 2x בתחום המורחב, מחלקים ב-2 ואוספים את כל הפתרונות בתחום. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". sin 2x = 2 sin x cos x · cos 2x = 1 - 2 sin²x · 2x בתחום 0-720 → חלקו ב-2
משוואה אחת, ארבעה פתרונות. "כמה פתרונות יש ל-sin 2x = ½ בין 0° ל-360°?" - אם נפתור רק 2x = 30° נפספס את רוב הפתרונות. הסוד: הזווית 2x מסתובבת פעמיים סביב המעגל, ולכן אוספים את כל הזוויות 2x = 30°, 150°, 390°, 510° ורק אז מחלקים ב-2 → x = 15°, 75°, 195°, 255°. נעבור כאן על השיטה - זהות, זווית פנימית בתחום מורחב, חלוקה וסינון - ואז לתרגול המדורג.
האנטומיה של פתרון עם זהות - תזכורת
נזכר שוב בשיטה: מזהים את הזהות שהופכת את הביטוי למשוואה בסיסית, פותרים על מעגל היחידה את כל הזוויות של הביטוי הפנימי בתחום המורחב, ואז מחלקים בחזרה ל-x וסוננים לתחום הנתון. הנה המפה המלאה על הדוגמה 2 sin x cos x = ½ בתחום 0° ≤ x < 360° שתלווה אתכם בתרגול:
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בפתרון משוואות טריגונומטריות עם זהויות, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהזהות שהופכת את הביטוי למשוואה בסיסית, דרך הזווית הפנימית והתחום המורחב, ועד הסינון לתחום הנתון. ואז לתרגול המדורג.
זהות הזווית הכפולה
הזהות sin 2x = 2 sin x cos x מקפלת מכפלה של סינוס וקוסינוס לביטוי אחד. כך 2 sin x cos x = ½ הופכת מיד ל-sin 2x = ½ - משוואה בסיסית שיודעים לפתור.
זהות הקוסינוס הכפול
גם cos 2x היא זהות שימושית: cos 2x = 1 - 2 sin²x. לעיתים המשוואה כבר נתונה בצורה cos 2x = 0, ואז פותרים ישירות את הזווית הפנימית 2x.
הזהות הפיתגורית
הזהות sin²x + cos²x = 1 מאפשרת להחליף cos²x ב-1 - sin²x (או להפך) ולהביא משוואה לפונקציה אחת. שימו לב לסימן: מהזהות נובע sin²x = 1 - cos²x, לא 1 + cos²x.
מעגל היחידה
לכל ערך בסיסי (למשל sin = ½) יש שתי זוויות בסיבוב אחד: אחת ברביע הראשון ואחת המשלימה. מעגל היחידה מזכיר לנו את שתיהן, כדי שלא נאבד פתרון.
הזווית הפנימית והתחום המורחב
כש-x רץ מ-0° ל-360°, הזווית 2x רצה מ-0° ל-720° - סיבוב כפול. לכן פותרים את 2x בתחום המורחב 0°-720° ורק אז מחלקים ב-2.
סינון לתחום הנתון
אחרי החלוקה בודקים אילו פתרונות נופלים בתחום הנתון (למשל 0° ≤ x < 360°) ופוסלים את השאר. בדוגמה מתקבלים x = 15°, 75°, 195°, 255° - ארבעה פתרונות.
דוגמאות פתורות
שלוש משוואות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל, בתחום 0° ≤ x < 360°. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: מזהים זהות, פותרים את הזווית הפנימית על מעגל היחידה בתחום מורחב, ומחלקים בחזרה ל-x. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- זהות: לפי sin 2x = 2 sin x cos x המשוואה הופכת ל-sin 2x = ½.
- מעגל היחידה (זווית פנימית): sin θ = ½ ב-θ = 30° וב-θ = 150°. כיוון ש-θ = 2x רץ עד 720°, מוסיפים סיבוב: 2x = 30°, 150°, 390°, 510°.
- חלוקה ב-2: x = 15°, 75°, 195°, 255°.
- כל הפתרונות בתחום 0° ≤ x < 360°: x = 15°, 75°, 195°, 255°.
- זווית פנימית: המשוואה כבר בצורת cos θ = 0 עם θ = 2x.
- מעגל היחידה בתחום מורחב: cos θ = 0 ב-θ = 90° וב-θ = 270°; עד 720° מוסיפים סיבוב: 2x = 90°, 270°, 450°, 630°.
- חלוקה ב-2: x = 45°, 135°, 225°, 315°.
- כל הפתרונות בתחום 0° ≤ x < 360°: x = 45°, 135°, 225°, 315°.
- המרה ל-tan: מחלקים ב-cos x (שאינו 0 בפתרונות): sin x / cos x = 1, כלומר tan x = 1.
- מעגל היחידה: tan x = 1 ברביע הראשון ב-x = 45° וברביע השלישי (אותה שיפוע) ב-x = 225°.
- בדיקה: ב-45° אכן sin = cos, וב-225° שניהם שליליים ושווים.
- כל הפתרונות בתחום 0° ≤ x < 360°: x = 45°, 225°.
תרגול מדורג - משוואות טריגונומטריות עם זהויות
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: זיהוי זהות ופתרון בסיסי; זווית כפולה והמרה ל-tan; כל הפתרונות ומספרם; ועד מציאת כל הפתרונות, נימוק ואיתור טעות ברמת בגרות. כל תשובה מספרית היא זווית שלמה במעלות בתחום (או מקדם של זהות). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "פותר המשוואה". בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1זהות ראשית: sin 2x = 2 sin x cos x - מקפלת מכפלה למשוואה בסיסית.
- 2זהויות נוספות: cos 2x = 1 - 2 sin²x ו-sin²x + cos²x = 1.
- 3זווית פנימית: את 2x פותרים בתחום מורחב 0°-720°, ורק אז מחלקים ב-2.
- 4מעגל היחידה: לכל ערך יש שתי זוויות בכל סיבוב - אל תשכחו אף אחת.
- 5סינון: בסוף שומרים רק את הפתרונות שבתחום הנתון.
| המשוואה | הזווית הפנימית 2x | הפתרונות |
|---|---|---|
| 2 sin x cos x = 12 | 30°, 150°, 390°, 510° | 15°, 75°, 195°, 255° |
| cos 2x = 0 | 90°, 270°, 450°, 630° | 45°, 135°, 225°, 315° |
| cos 2x = 12 | 60°, 300°, 420°, 660° | 30°, 150°, 210°, 330° |
| sin 2x = -12 | 210°, 330°, 570°, 690° | 105°, 165°, 285°, 345° |
| cos 2x = 1 | 0°, 360° | 0°, 180° |
| sin x = cos x | tan x = 1 | 45°, 225° |
