משוואות טריגונומטריות בעזרת זהויות
הרבה משוואות טריגונומטריות לא נראות פתירות במבט ראשון - אבל זהות אחת הופכת אותן למשוואה מוכרת. הזהות של הזווית הכפולה sin 2x = 2 sin x cos x הופכת את 2 sin x cos x = ½ ל-sin 2x = ½, ואז מעגל היחידה נותן את כל הזוויות. בדף הזה נפתור בסגנון בגרות של 5 יח״ל: מזהים זהות, פותרים על מעגל היחידה, ומוצאים את כל הפתרונות בתחום נתון. סובבו את הזווית במעבדה וראו את כל הפתרונות נדלקים על המעגל.
כמה פתרונות יש למשוואה sin 2x = ½ בין 0° ל-360°? אם היינו פותרים רק 2x = 30° היינו מפספסים את רוב הפתרונות. הסוד הוא שהזווית 2x מסתובבת פעמיים סביב המעגל כש-x עובר מ-0° ל-360°, ולכן צריך לאסוף את כל הזוויות: 2x = 30°, 150°, 390°, 510°, ורק אז לחלק ב-2 → x = 15°, 75°, 195°, 255°. הזהות פותחת את הדלת, ומעגל היחידה דואג שלא נשכח אף פתרון.
האנטומיה של פתרון עם זהות
לכל משוואה כזו יש בדיוק אותם שלבים: מזהים את הזהות שהופכת את הביטוי למשוואה בסיסית, פותרים על מעגל היחידה את כל הזוויות של הביטוי הפנימי בתחום המורחב, ואז מחלקים או מתאימים בחזרה ל-x וסוננים לתחום הנתון. הנה המפה המלאה על הדוגמה 2 sin x cos x = ½:
הכלים לפתרון משוואה טריגונומטרית
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בפתרון משוואות טריגונומטריות עם זהויות, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל. בחרו במעבדה שלמעלה משוואה שונה תוך כדי קריאה, וצפו איך כל הפתרונות נדלקים יחד על מעגל היחידה.
זהות הזווית הכפולה
הזהות sin 2x = 2 sin x cos x מקפלת מכפלה של סינוס וקוסינוס לביטוי אחד. כך 2 sin x cos x = ½ הופכת מיד ל-sin 2x = ½ - משוואה בסיסית שיודעים לפתור.
זהות הקוסינוס הכפול
גם cos 2x היא זהות שימושית: cos 2x = 1 − 2 sin²x. לפעמים המשוואה כבר נתונה בצורה cos 2x = 0, ואז פותרים ישירות את הזווית הפנימית 2x.
הזהות הפיתגורית
הזהות sin²x + cos²x = 1 מאפשרת להחליף cos²x ב-1 − sin²x (או להפך), וכך להביא משוואה לסינוס אחד בלבד. היא הבסיס לכל שאר הזהויות.
מעגל היחידה
לכל ערך בסיסי (למשל sin = ½) יש שתי זוויות בסיבוב אחד: אחת ברביע הראשון ואחת המשלימה. מעגל היחידה מזכיר לנו את שתיהן, כדי שלא נאבד פתרון.
הזווית הפנימית והתחום המורחב
כש-x רץ מ-0° ל-360°, הזווית 2x רצה מ-0° ל-720° - סיבוב כפול. לכן פותרים את 2x בתחום המורחב 0°-720° ורק אז מחלקים ב-2.
סינון לתחום הנתון
אחרי החלוקה בודקים אילו פתרונות נופלים בתחום הנתון (למשל 0° ≤ x < 360°) ופוסלים את השאר. בדוגמה מתקבלים x = 15°, 75°, 195°, 255° - ארבעה פתרונות.
דוגמאות פתורות
שלוש משוואות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל, בתחום 0° ≤ x < 360°. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: מזהים זהות, פותרים את הזווית הפנימית על מעגל היחידה בתחום מורחב, ומחלקים בחזרה ל-x.
- זהות: לפי sin 2x = 2 sin x cos x המשוואה הופכת ל-sin 2x = ½.
- מעגל היחידה (זווית פנימית): sin θ = ½ ב-θ = 30° וב-θ = 150°. כיוון ש-θ = 2x רץ עד 720°, מוסיפים סיבוב: 2x = 30°, 150°, 390°, 510°.
- חלוקה ב-2: x = 15°, 75°, 195°, 255°.
- כל הפתרונות בתחום 0° ≤ x < 360°: x = 15°, 75°, 195°, 255°.
- זווית פנימית: המשוואה כבר בצורת cos θ = 0 עם θ = 2x.
- מעגל היחידה בתחום מורחב: cos θ = 0 ב-θ = 90° וב-θ = 270°; עד 720° מוסיפים סיבוב: 2x = 90°, 270°, 450°, 630°.
- חלוקה ב-2: x = 45°, 135°, 225°, 315°.
- כל הפתרונות בתחום 0° ≤ x < 360°: x = 45°, 135°, 225°, 315°.
- המרה ל-tan: מחלקים ב-cos x (שאינו 0 בפתרונות): sin x / cos x = 1, כלומר tan x = 1.
- מעגל היחידה: tan x = 1 ברביע הראשון ב-x = 45° וברביע השלישי (אותה שיפוע) ב-x = 225°.
- בדיקה: ב-45° אכן sin = cos, וב-225° שניהם שליליים ושווים.
- כל הפתרונות בתחום 0° ≤ x < 360°: x = 45°, 225°.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (זהות ופתרון בסיסי), יישום (משוואה עם זווית כפולה או המרה ל-tan), ורמת בגרות (מציאת כל הפתרונות ונימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המשוואה".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1זהות ראשית: sin 2x = 2 sin x cos x - מקפלת מכפלה למשוואה בסיסית.
- 2זהויות נוספות: cos 2x = 1 − 2 sin²x ו-sin²x + cos²x = 1.
- 3זווית פנימית: את 2x פותרים בתחום מורחב 0°-720°, ורק אז מחלקים ב-2.
- 4מעגל היחידה: לכל ערך יש שתי זוויות בכל סיבוב - אל תשכחו אף אחת.
- 5סינון: בסוף שומרים רק את הפתרונות שבתחום הנתון.
