תרגול זהויות טריגונומטריות
כל מה שלמדנו על הזהויות - עכשיו לתרגול. השיטה חוזרת בכל שאלה: מוצאים את cos x מזהות היסוד sin²x + cos²x = 1 ובוחרים סימן לפי הרביע, ואז מציבים בנוסחאות הזווית הכפולה sin 2x = 2 sin x cos x ו-cos 2x. זכרו את הלב של הדף: את cos 2x אפשר לכתוב בשלוש צורות שקולות - cos²x - sin²x, 1 - 2 sin²x ו-2 cos²x - 1 - וכולן נותנות אותה תוצאה. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב ישיר ועד הוכחה, פישוט ואיתור טעות ברמת בגרות.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון: מוצאים את cos x מזהות היסוד לפי הרביע, ואז מציבים בנוסחאות הזווית הכפולה. שימו לב ש-cos 2x נכתב בשלוש צורות שקולות. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". sin²x + cos²x = 1 · sin 2x = 2 sin x cos x · cos 2x = cos²x - sin²x = 1 - 2 sin²x = 2 cos²x - 1
ערך אחד, שלוש דרכים לאותה תשובה. נתון sin x = 0.6 ו-x ברביע I. מזהות היסוד cos²x = 1 - 0.36 = 0.64, וברביע I הקוסינוס חיובי, אז cos x = 0.8. עכשיו cos 2x: דרך אחת cos²x - sin²x = 0.64 - 0.36 = 0.28; דרך שנייה 1 - 2 sin²x = 1 - 0.72 = 0.28; דרך שלישית 2 cos²x - 1 = 1.28 - 1 = 0.28. שלוש נוסחאות, אותה תוצאה בדיוק. בדף הזה נתרגל לעבור ביניהן בביטחון - ולבחור בכל פעם את הצורה הנוחה ביותר.
האנטומיה של הזהויות - תזכורת
נזכר שוב בשיטה: הכול יושב על מעגל היחידה, שבו כל נקודה היא (cos x, sin x). משפט פיתגורס נותן מיד את זהות היסוד, ממנה מוצאים את cos x לפי הרביע, ואז מציבים בנוסחאות הזווית הכפולה. הנה המפה המלאה על הדוגמה sin x = 0.6, x ברביע I, שתלווה אתכם בתרגול:
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בזהויות הטריגונומטריות, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מזהות היסוד וסימן לפי הרביע, דרך שתי נוסחאות הזווית הכפולה, ועד שלוש הצורות של cos 2x והשימוש בהן לפישוט. ואז לתרגול המדורג.
זהות היסוד
לכל זווית x מתקיים sin²x + cos²x = 1 - תוצאה ישירה של משפט פיתגורס על מעגל היחידה. מכאן, אם יודעים את sin x, מחשבים cos x = ±1 - sin²x.
סימן לפי הרביע
הזהות נותנת גודל, והרביע נותן סימן. ברביע I שניהם חיוביים; ברביע II cos x < 0. למשל sin x = 0.6 ברביע I נותן cos x = 0.8, אבל ברביע II נותן cos x = -0.8.
זווית כפולה - סינוס
מציבים a = b = x בנוסחת הסכום ומקבלים sin 2x = 2 sin x cos x. למשל 2·0.6·0.8 = 0.96. אותה נוסחה גם מפשטת: 2 sin 15° cos 15° = sin 30° = 0.5.
זווית כפולה - קוסינוס (שלוש צורות)
הצורה הבסיסית היא cos 2x = cos²x - sin²x. בעזרת זהות היסוד אפשר לכתוב גם cos 2x = 1 - 2 sin²x וגם cos 2x = 2 cos²x - 1. כל שלושתן שקולות ונותנות אותה תוצאה.
בוחרים את הצורה הנוחה
אם נתון רק sin x, נוח להשתמש ב-1 - 2 sin²x; אם נתון רק cos x, נוח 2 cos²x - 1; ואם נתונים שניהם - cos²x - sin²x. למשל sin x = 0.6 נותן cos 2x = 1 - 2·0.36 = 0.28.
פישוט וזיהוי
הזהויות משמשות לפישוט ולהוכחה: מזהים 2 sin x cos x וכותבים sin 2x, או מחליפים cos²x - sin²x ב-cos 2x. שימו לב גם ל-cos(90° - x) = sin x - הזווית המשלימה מחליפה בין סינוס לקוסינוס.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: מוצאים את cos x מזהות היסוד לפי הרביע, ואז מציבים בנוסחאות הזווית הכפולה. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- זהות היסוד: cos²x = 1 - sin²x = 1 - 0.36 = 0.64, ולכן cos x = ±0.8.
- בחירת סימן לפי הרביע: ברביע I הקוסינוס חיובי, אז cos x = 0.8.
- זווית כפולה: sin 2x = 2·0.6·0.8 = 0.96, ו-cos 2x = 1 - 2·0.36 = 0.28.
- cos x = 0.8, sin 2x = 0.96, cos 2x = 0.28.
- זהות היסוד: cos²x = 1 - 0.64 = 0.36, ולכן cos x = ±0.6.
- בחירת סימן לפי הרביע: ברביע II הקוסינוס שלילי, אז cos x = -0.6.
- זווית כפולה: sin 2x = 2·0.8·(-0.6) = -0.96, ו-cos 2x = 1 - 2·0.64 = -0.28.
- cos x = -0.6, sin 2x = -0.96, cos 2x = -0.28.
- זיהוי התבנית: הביטוי 2 sin x cos x הוא בדיוק הצד הימני של נוסחת הזווית הכפולה עם x = 15°.
- הצבה בנוסחה: 2 sin 15° cos 15° = sin(2·15°) = sin 30°.
- חישוב הערך: sin 30° = 0.5.
- 2 sin 15° cos 15° = 0.5. אותה שיטה מפשטת גם cos²x - sin²x = cos 2x.
תרגול מדורג - זהויות טריגונומטריות
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: זהות היסוד וזווית כפולה ישירה; חישוב לפי הרביע ושלוש הצורות של cos 2x; פישוט וזיהוי; ועד הוכחה, נימוק ואיתור טעות ברמת בגרות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "פותר הזהויות". בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1זהות היסוד: sin²x + cos²x = 1 - ממשפט פיתגורס על מעגל היחידה.
- 2מ-sin ל-cos: cos x = ±1 - sin²x, והרביע קובע את הסימן.
- 3זווית כפולה: sin 2x = 2 sin x cos x.
- 4שלוש צורות ל-cos 2x: cos²x - sin²x = 1 - 2 sin²x = 2 cos²x - 1.
- 5שימוש: מזהים תבנית ומחליפים - כך מפשטים ביטויים ומוכיחים זהויות.
| הזהות | הצורה | הדוגמה |
|---|---|---|
| זהות היסוד | sin²x + cos²x = 1 | 0.36 + 0.64 = 1 |
| זווית כפולה - סינוס | sin 2x = 2 sin x cos x | 2·0.6·0.8 = 0.96 |
| cos 2x (צורה 1) | cos²x - sin²x | 0.64 - 0.36 = 0.28 |
| cos 2x (צורה 2) | 1 - 2 sin²x | 1 - 0.72 = 0.28 |
| cos 2x (צורה 3) | 2 cos²x - 1 | 1.28 - 1 = 0.28 |
