כל הזהויות מתחילות במעגל היחידה
על מעגל היחידה כל נקודה היא (cos x, sin x), ולכן משפט פיתגורס נותן מיד את זהות היסוד sin²x + cos²x = 1. ממנה, ומנוסחאות הסכום וההפרש, נגזרות נוסחאות הזווית הכפולה sin 2x = 2 sin x cos x ו-cos 2x = cos²x − sin²x = 1 − 2 sin²x. בסגנון בגרות של 5 יח״ל נשתמש בהן כדי לחשב ולפשט: אם sin x = 0.6 ו-x ברביע I אז cos x = 0.8 ו-sin 2x = 0.96. סובבו את הזווית במעבדה וראו את הזהויות מתקיימות בכל רגע.
איך משפט פיתגורס הופך לזהות טריגונומטרית? ציירו מעגל שרדיוסו 1, וסמנו עליו נקודה בזווית x מהציר האופקי. שיעורי הנקודה הם בדיוק (cos x, sin x). עכשיו מורידים אנך אל ציר ה-x: נוצר משולש ישר זווית שניצביו הם cos x ו-sin x, והיתר הוא הרדיוס 1. משפט פיתגורס נותן מיד sin²x + cos²x = 1 - זהות היסוד. כל שאר הזהויות, כולל הזווית הכפולה, נבנות מעליה. בדף הזה נלמד לשלוט בכולן.
האנטומיה של הזהויות
כל הזהויות יושבות על מעגל היחידה. הרדיוס הוא 1, הניצב האופקי הוא cos x והניצב האנכי הוא sin x. מכאן זהות היסוד, ומכאן - עם נוסחאות הסכום - הזווית הכפולה. הנה המפה המלאה על הדוגמה sin x = 0.6, x ברביע I:
מה מרכיב את הזהויות
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בזהויות הטריגונומטריות, בדיוק כפי שהן נדרשות ב-5 יח״ל. נסו לסובב את הזווית במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך sin²x + cos²x נשאר 1 ואיך sin 2x משתנה.
זהות היסוד
לכל זווית x מתקיים sin²x + cos²x = 1. זו תוצאה ישירה של משפט פיתגורס על מעגל היחידה. מכאן, אם יודעים את sin x ואת הרביע, מחשבים את cos x = ±1 − sin²x.
סימן לפי הרביע
הזהות נותנת גודל, והרביע נותן סימן. ברביע I גם sin x וגם cos x חיוביים; ברביע II sin x > 0 אבל cos x < 0. למשל אם sin x = 0.6 ו-x ברביע I אז cos x = 0.8.
נוסחאות סכום והפרש
sin(a ± b) = sin a·cos b ± cos a·sin b ו-cos(a ± b) = cos a·cos b ∓ sin a·sin b. מהן נובע גם cos(90° − x) = sin x - הזווית המשלימה מחליפה בין סינוס לקוסינוס.
זווית כפולה - סינוס
מציבים a = b = x בנוסחת הסכום ומקבלים sin 2x = 2 sin x cos x. למשל sin 2x = 2·0.6·0.8 = 0.96. זו הנוסחה שממירה מכפלה של סינוס וקוסינוס לסינוס של הזווית הכפולה.
זווית כפולה - קוסינוס
cos 2x = cos²x − sin²x. בעזרת זהות היסוד אפשר לכתוב גם cos 2x = 1 − 2 sin²x וגם cos 2x = 2 cos²x − 1. למשל cos 2x = 1 − 2·0.36 = 0.28.
פישוט וזיהוי
הזהויות משמשות לפישוט ביטויים ולפתרון משוואות: מזהים 2 sin x cos x וכותבים sin 2x, או מחליפים 1 − 2 sin²x ב-cos 2x. כך משוואה מסובכת הופכת למשוואה פשוטה בזווית אחת.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: מוצאים את cos x מזהות היסוד לפי הרביע, ואז מציבים בנוסחאות הזווית הכפולה.
- זהות היסוד: cos²x = 1 − sin²x = 1 − 0.36 = 0.64, ולכן cos x = ±0.8.
- בחירת סימן לפי הרביע: ברביע I הקוסינוס חיובי, אז cos x = 0.8.
- זווית כפולה: sin 2x = 2 sin x cos x = 2·0.6·0.8 = 0.96.
- cos x = 0.8 ו-sin 2x = 0.96; בנוסף cos 2x = 1 − 2·0.36 = 0.28.
- זהות היסוד: cos²x = 1 − 0.64 = 0.36, ולכן cos x = ±0.6.
- בחירת סימן לפי הרביע: ברביע II הקוסינוס שלילי, אז cos x = −0.6.
- זווית כפולה: sin 2x = 2·0.8·(−0.6) = −0.96, ו-cos 2x = 1 − 2·0.64 = −0.28.
- cos x = −0.6, sin 2x = −0.96, cos 2x = −0.28.
- זיהוי התבנית: הביטוי 2 sin x cos x הוא בדיוק הצד הימני של נוסחת הזווית הכפולה עם x = 15°.
- הצבה בנוסחה: 2 sin 15° cos 15° = sin(2·15°) = sin 30°.
- חישוב הערך: sin 30° = 0.5.
- 2 sin 15° cos 15° = sin 30° = 0.5. אותה שיטה עובדת לפישוט cos²x − sin²x = cos 2x.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (זהות היסוד וזווית כפולה ישירה), יישום (חישוב לפי הרביע, פישוט), ורמת בגרות (הוכחת זהות ומשוואה רב-שלבית). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הזהויות".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1זהות היסוד: sin²x + cos²x = 1 - ממשפט פיתגורס על מעגל היחידה.
- 2מ-sin ל-cos: cos x = ±1 − sin²x, והרביע קובע את הסימן.
- 3זווית כפולה: sin 2x = 2 sin x cos x.
- 4קוסינוס כפול: cos 2x = cos²x − sin²x = 1 − 2 sin²x.
- 5שימוש: מזהים תבנית ומחליפים - כך מפשטים ביטויים ופותרים משוואות.
