תרגול הערך הממוצע והאינטגרל המסוים
בכל שורה בחרו את הערך הנכון - הערך הממוצע (1/(b-a))∫ₐᵇf(x)dx, או ערכו של האינטגרל המסוים ∫ₐᵇf(x)dx. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". אינטגרל מסוים: מוצאים פונקציה קדומה, מציבים את שני הקצוות ומחסרים (F(b) - F(a)) · ערך ממוצע: מאנטגרלים ומחלקים באורך הקטע b-a
אותו אינטגרל, שני שימושים. מסובבים עקום כמו y = x סביב ציר x? כל נקודה מציירת מעגל, כל פרוסה היא דיסקה ששטחה π[f(x)]², וסכום הדיסקות הוא הנפח V = π∫ₐᵇ[f(x)]²dx - מעלים בריבוע לפני האינטגרל. רוצים את הגובה הקבוע השקול לכל השטח שמתחת לגרף? זהו הערך הממוצע (1/(b - a))∫ₐᵇ f(x)dx - מאנטגרלים ומחלקים באורך הקטע. נרענן כאן את השיטה, ומשם לתרגול המדורג. שימו לב נפח גוף הסיבוב אינו נלמד ואינו נבחן בשאלון 35571 בתשפ״ז. כל מה שכתוב כאן על הדיסקה, על הריבוע לפני האינטגרל ועל נוסחת הנפח הוא העשרה למי שלומד את הנושא במסגרת בית-ספרית או מתכונן למועד שבו יחזור. התרגול הנבדק בדף הזה כולו על הערך הממוצע, האינטגרל המסוים והמשפט היסודי, שהם מה שנבחן השנה.
האנטומיה של נפח סיבוב - תזכורת העשרה
העשרה · לא נבחן בתשפ״ז הפרק הזה אינו נבחן בשאלון 35571 השנה, ואין עליו שאלות בתרגול שבהמשך. הוא כאן למי שרוצה להבין את הרעיון. נזכר במבנה: פורסים את הגוף לדיסקות דקות, רדיוס כל דיסקה הוא f(x) ושטחה π[f(x)]², והאינטגרל מסכם את כולן. הצעד הקריטי - מעלים בריבוע ומפשטים לפני האינטגרל, ורק אז מציבים גבולות ומחסרים. הנה המפה על הדוגמה y = x בקטע [0, 4], שנפחה 8π:
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהדיסקה ונוסחת הנפח, דרך הריבוע לפני האינטגרל, ועד הערך הממוצע והמשפט היסודי שמפעיל את שניהם. שלוש הכרטיסיות הראשונות, על גוף הסיבוב, הן העשרה שאינה נבחנת בשאלון 35571 בתשפ״ז; שלוש האחרונות, על הערך הממוצע והמשפט היסודי, הן החומר הנבחן וגם החומר של התרגול המדורג שבהמשך.
הדיסקה - לבנת הבניין העשרה
פרוסה דקה של גוף הסיבוב היא דיסקה שרדיוסה f(x). שטח הדיסקה הוא π·r² = π[f(x)]², ועובייה הזעיר הוא dx. זהו האיבר שהאינטגרל מסכם.
נוסחת נפח הסיבוב העשרה
סוכמים את כל הדיסקות מ-a עד b: V = π∫ₐᵇ[f(x)]²dx. מעלים בריבוע את הפונקציה לפני האינטגרציה, ואת π משאירים מחוץ לאינטגרל.
ריבוע לפני האינטגרל העשרה
הצעד הקריטי הוא לפשט את [f(x)]² ורק אז לאנטגרל. למשל [x]² = x, ולכן V = π∫₀⁴ x dx = π[x²/2]₀⁴ = 8π - נקי ופשוט.
הערך הממוצע
הערך הממוצע של f בקטע [a, b] הוא (1/(b - a))∫ₐᵇ f(x)dx - הגובה הקבוע שכולא בדיוק את אותו שטח כמו הגרף. זהו "מפלס המים" הממוצע של הפונקציה.
מחשבים ערך ממוצע
קודם מחשבים את האינטגרל, אחר כך מחלקים באורך הקטע. לדוגמה, הממוצע של f(x) = x² בקטע [0, 3] הוא (13)∫₀³ x²dx = (13)·9 = 3.
המשפט היסודי מפעיל הכול
שני הנושאים נשענים על אותו כלי: ∫ₐᵇ f = F(b) - F(a), עם ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1). מוצאים פונקציה קדומה, מציבים את הקצוות ומחסרים - וזה נותן גם נפח וגם ממוצע.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה החוזרת - מפשטים את הביטוי, מוצאים פונקציה קדומה, מציבים קצוות ומחסרים. הדוגמה הראשונה, על נפח גוף סיבוב, היא העשרה שאינה נבחנת בתשפ״ז; שתי האחרונות, על הערך הממוצע, הן החומר הנבחן.
- ריבוע הפונקציה: [f(x)]² = [x]² = x.
- הצבה בנוסחה: V = π∫₀⁴ x dx.
- אינטגרל: פונקציה קדומה של x היא x²/2, ולכן V = π[x²/2]₀⁴ = π(162 - 0) = π·8.
- נפח גוף הסיבוב הוא V = 8π.
- נוסחת הממוצע: (1/(3 - 0))∫₀³ x²dx.
- אינטגרל: פונקציה קדומה של x² היא x³/3, ולכן ∫₀³ x²dx = [x³/3]₀³ = 273 = 9.
- חלוקה באורך הקטע: (13)·9 = 3.
- הערך הממוצע הוא 3.
- נוסחת הממוצע: (1/(4 - 0))∫₀⁴ 2x dx.
- אינטגרל: פונקציה קדומה של 2x היא x², ולכן ∫₀⁴ 2x dx = [x²]₀⁴ = 16.
- חלוקה באורך הקטע: (14)·16 = 4.
- הערך הממוצע הוא 4.
תרגול מדורג - ערך ממוצע ואינטגרל מסוים
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה, כולם על החומר הנבחן: יסוד (אינטגרל מסוים, פונקציה קדומה וממוצע ישיר); יישום (ערך ממוצע או אינטגרל בשלב אחד); מוגברת (ממוצע ואינטגרל בקטעים כלליים); ועד רמת בגרות - שאלה רב-שלבית ואיתור טעות. אין כאן שאלות על נפח גוף סיבוב, מפני שהנושא אינו נבחן בשאלון 35571 בתשפ״ז. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הנפח והממוצע" שמחשב ערך ממוצע (וגם נפח, להעשרה) עבור f = k·xⁿ. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1נפח סיבוב: V = π∫ₐᵇ[f(x)]²dx - מעלים בריבוע לפני האינטגרל.
- 2הדיסקה: פרוסה ברדיוס f(x), שטח π[f(x)]².
- 3ערך ממוצע: (1/(b - a))∫ₐᵇ f(x)dx - מאנטגרלים ומחלקים באורך הקטע.
- 4המשפט היסודי: ∫ₐᵇ f = F(b) - F(a) עם ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1).
- 5דוגמה: ממוצע x² ב-[0, 3] הוא 3; ממוצע 2x ב-[0, 4] הוא 4.
- 6בתשפ״ז: נפח גוף הסיבוב אינו נלמד ואינו נבחן בשאלון 35571, והוא כאן כהעשרה בלבד. מה שנבחן ומה שתרגלתם: הערך הממוצע, האינטגרל המסוים והמשפט היסודי.
| הכלל | הניסוח | דוגמה |
|---|---|---|
| נפח סיבוב | V = π∫ₐᵇ[f(x)]²dx | x , [0,4] → 8π |
| ריבוע לפני האינטגרל | [x]² = x , [x]² = x² | x , [0,3] → 9π |
| ערך ממוצע | (1/(b-a))∫ₐᵇf(x)dx | x² , [0,3] → 3 |
| ממוצע של 2x | (1/(b-a))[x²]ₐᵇ = a+b | 2x , [0,4] → 4 |
| המשפט היסודי | ∫ₐᵇf = F(b) - F(a) | ∫₀³x²dx = 9 |
