הערך הממוצע של פונקציה
איך מחשבים נפח של כד? קחו עקום, למשל y = x, וסובבו אותו סביב ציר x. כל נקודה על הגרף מציירת מעגל, וכל המעגלים יחד יוצרים גוף מוצק - בדיוק כמו קדרות על אובניים. עובי דק אחד של הגוף הוא דיסקה שרדיוסה f(x), ולכן שטחה π[f(x)]². סוכמים את כל הדיסקות עם אינטגרל ומקבלים V = π∫ₐᵇ[f(x)]²dx. שימו לב: נפח גוף הסיבוב אינו נבחן בתשפ״ז והוא מובא כאן כהעשרה בלבד. אותו רעיון של "לסכם ולחלק" נותן גם את הערך הממוצע של פונקציה - הגובה הקבוע השקול לכל השטח שמתחת לגרף.
האנטומיה של נפח סיבובהעשרה · לא נבחן בתשפ״ז
כשמסובבים את f סביב ציר x בקטע [a, b], חותכים את הגוף לדיסקות דקות. רדיוס כל דיסקה הוא f(x), שטחה π[f(x)]², והאינטגרל מסכם את כולן. הנה הגוף שנוצר מסיבוב y = x בקטע [0, 4], שנפחו 8π:
מה מרכיב ערך ממוצע, ומאין מגיע נפח הסיבוב
שישה מושגים: הערך הממוצע והכלים שהוא נשען עליהם, כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל, ולצידם נפח הסיבוב כהעשרה. נסו במעבדה שלמעלה לשנות את הפונקציה ואת הקצוות a, b, וצפו איך קו הערך הממוצע משתנה ואיך נבנה גוף הסיבוב.
הדיסקה - לבנת הבנייןהעשרה · לא נבחן בתשפ״ז
פרוסה דקה של גוף הסיבוב היא דיסקה שרדיוסה f(x). שטח הדיסקה הוא π·r² = π[f(x)]², ועובייה הזעיר הוא dx. זהו האיבר שהאינטגרל מסכם.
נוסחת נפח הסיבובהעשרה · לא נבחן בתשפ״ז
סוכמים את כל הדיסקות מ-a עד b: V = π∫ₐᵇ[f(x)]²dx. שימו לב שמעלים בריבוע את הפונקציה לפני האינטגרציה, ואת π אפשר להוציא החוצה.
ריבוע לפני האינטגרלהעשרה · לא נבחן בתשפ״ז
הצעד הקריטי הוא לפשט את [f(x)]² ורק אז לאנטגרל. למשל [x]² = x, ולכן V = π∫₀⁴ x dx = π[x²/2]₀⁴ = 8π - נקי ופשוט.
הערך הממוצע
הערך הממוצע של f בקטע [a, b] הוא 1b − a∫ₐᵇ f(x)dx - הגובה הקבוע שכולא בדיוק את אותו שטח כמו הגרף. זהו "מפלס המים" הממוצע של הפונקציה.
מחשבים ערך ממוצע
קודם מחשבים את האינטגרל, אחר כך מחלקים באורך הקטע. לדוגמה, הממוצע של f(x) = x² בקטע [0, 3] הוא (13)∫₀³ x²dx = (13)·9 = 3.
המשפט היסודי מפעיל הכול
שני הנושאים נשענים על אותו כלי: ∫ₐᵇ f = F(b) − F(a), עם ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1). מוצאים פונקציה קדומה, מציבים את הקצוות ומחסרים - וזה נותן גם נפח וגם ממוצע.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. הראשונה היא העשרה על נפח סיבוב, ושתי האחרות על הערך הממוצע, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה החוזרת - מפשטים את הביטוי, מוצאים פונקציה קדומה, מציבים קצוות ומחסרים.
- ריבוע הפונקציה: [f(x)]² = [x]² = x.
- הצבה בנוסחה: V = π∫₀⁴ x dx.
- אינטגרל: פונקציה קדומה של x היא x²/2, ולכן V = π[x²/2]₀⁴ = π(162 − 0) = π·8.
- נפח גוף הסיבוב הוא V = 8π.
- נוסחת הממוצע: (1/(3 − 0))∫₀³ x²dx.
- אינטגרל: פונקציה קדומה של x² היא x³/3, ולכן ∫₀³ x²dx = [x³/3]₀³ = 273 = 9.
- חלוקה באורך הקטע: (13)·9 = 3.
- הערך הממוצע הוא 3.
- נוסחת הממוצע: (1/(4 − 0))∫₀⁴ 2x dx.
- אינטגרל: פונקציה קדומה של 2x היא x², ולכן ∫₀⁴ 2x dx = [x²]₀⁴ = 16.
- חלוקה באורך הקטע: (14)·16 = 4.
- הערך הממוצע הוא 4.
תרגול אינטראקטיבי
התרגול כולו על מה שנבחן בתשפ״ז: ערך ממוצע ואינטגרל מסוים. נפח גוף הסיבוב שלמעלה הוא העשרה ואינו נבחן, ולכן אין עליו שאלות כאן. תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (אינטגרל מסוים וערך ממוצע), יישום (ערך ממוצע בשלב אחד), ורמת בגרות (חישוב מלא עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הנפח והממוצע".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1נפח סיבוב (העשרה, לא נבחן בתשפ״ז): V = π∫ₐᵇ[f(x)]²dx - מעלים בריבוע לפני האינטגרל.
- 2הדיסקה (העשרה): פרוסה ברדיוס f(x), שטח π[f(x)]².
- 3ערך ממוצע: (1/(b − a))∫ₐᵇ f(x)dx - הגובה הקבוע השקול לשטח.
- 4המשפט היסודי: ∫ₐᵇ f = F(b) − F(a) עם ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1).
- 5דוגמאות: ממוצע x² ב-[0, 3] הוא 3 (נבחן); סיבוב x ב-[0, 4] נותן 8π (העשרה).
