נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יב׳ · 3 יח״ל 3 יחידות
גאומטריה אנליטית · תרגול מדורג

תרגול גאומטריה אנליטית

כל מה שלמדנו על נקודות וישרים - מרחק d = (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)², אמצע הקטע, שיפוע m = Δy / Δx, משוואת הישר y = mx + b, ישרים מקבילים (m₁ = m₂) וניצבים (m₁·m₂ = -1), וחיתוך שני ישרים - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב בודד ועד ניתוח ואיתור טעות ברמת בגרות. זכרו את הלב של הכול: קודם מזהים שיעורים, מחשבים את Δx ו-Δy, ומציבים בנוסחה המתאימה.

מעבדת שתי הנקודות - בחרו את התוצאה בחרו בכל שורה את התוצאה הנכונה - מרחק, אמצע, שיפוע, ניצב, מקביל או חיתוך - לפי הנוסחה המתאימה

בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה לפי נוסחאות ההנדסה האנליטית: מרחק = Δx² + Δy², אמצע = ממוצע השיעורים, שיפוע = Δy / Δx, ישרים מקבילים כשהשיפועים שווים / ניצבים כש-m₁·m₂ = -1, וחיתוך שני ישרים בפתרון המשותף. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". שיפוע = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) · ניצב: השיפוע ההופכי הנגדי · אמצע-x = (x₁ + x₂) / 2

מרחק, שיפוע, ישר או חיתוך? אותן שתי נקודות, כמה שאלות שונות - וכולן נשענות על אותם הפרשים. "מה המרחק?" - d = Δx² + Δy², פיתגורס במישור. "מה השיפוע?" - m = Δy / Δx. "מה משוואת הישר?" - מוצאים שיפוע, ואז את b בהצבת נקודה ב-y = mx + b. "היכן נחתכים שני ישרים?" - פותרים את המשוואות יחד. ולבסוף: מקבילים אם השיפועים שווים, ניצבים אם m₁·m₂ = -1. תמיד מתחילים באותו צעד: מזהים שיעורים ומחשבים את Δx ו-Δy. נעבור כאן על הנוסחאות בקצרה, ואחר כך לתרגול המדורג.

מבט מקרוב

האנטומיה של קטע וישר - תזכורת

נזכר שוב במבנה: לכל קטע במישור שתי נקודות קצה, ולכל נקודה שני שיעורים. מההפרשים Δx = x₂ - x₁ ו-Δy = y₂ - y₁ נגזרים מרחק, אמצע ושיפוע, ומתוך השיפוע ונקודה - משוואת הישר. הנה התמונה המלאה על הדוגמה, הנקודות A(1, 2) ו-B(4, 6) - קודם זהו את השיעורים ואת ההפרשים.

הגדלים של הקטע AB - על A(1, 2), B(4, 6) - מרחק 5, אמצע (2.5, 4), שיפוע 43
y x Δx = 3 Δy = 4 A(1, 2) B(4, 6) אמצע (2.5, 4) מרחק AB = 5
תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה מושגים מגאומטריה אנליטית של 3 יח״ל (שאלון 35372), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מנקודה וההפרשים, דרך מרחק, אמצע ושיפוע, משוואת הישר, מקבילות וניצבות, ועד חיתוך שני ישרים. ואז לתרגול המדורג.

1

מרחק בין שתי נקודות

המרחק הוא היתר במשולש ישר-זווית עם ניצבים Δx ו-Δy: d = (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)². עם שלשה פיתגורית השורש יוצא שלם, למשל מ-(1, 2) ל-(4, 6) יוצא 5.

2

אמצע קטע

האמצע הוא ממוצע השיעורים: M = (x₁ + x₂2, y₁ + y₂2). בין (2, 3) ל-(8, 7) מקבלים (5, 5).

3

שיפוע הישר

השיפוע הוא קצב השינוי m = y₂ - y₁x₂ - x₁: חיובי עולה, שלילי יורד, אפס אופקי. דרך (0, 1) ו-(2, 5) השיפוע הוא 2.

4

משוואת הישר

עם שיפוע m ונקודה, כותבים y = mx + b ומוצאים את b בהצבה. עם m = 2 והנקודה (0, 1) מתקבל b = 1, כלומר y = 2x + 1.

5

מקבילים וניצבים

שני ישרים מקבילים אם השיפועים שווים: m₁ = m₂. הם ניצבים אם מכפלת השיפועים היא -1: m₁·m₂ = -1 (השיפוע ההופכי הנגדי). הניצב לשיפוע 2 הוא -12.

6

חיתוך שני ישרים

נקודת החיתוך היא הפתרון המשותף של שתי המשוואות. משווים m₁x + b₁ = m₂x + b₂, מוצאים את x, ומציבים באחת המשוואות כדי לקבל את y. כך y = 2x + 1 ו-y = -x + 7 נחתכים ב-(2, 5).

m₁ = m₂
שיפועים שווים - ישרים מקבילים
m₁·m₂ = -1
מכפלת שיפועים -1 - ישרים ניצבים
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות צעד אחר צעד. השיטה קבועה: מזהים שיעורים, מחשבים את Δx ו-Δy, ומציבים בנוסחה המתאימה - מרחק, אמצע, שיפוע, משוואת ישר, חיתוך או תנאי ניצבות. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1A(1, 2), B(4, 6) - מרחק, אמצע ושיפוע
  1. הפרשים: Δx = 4 - 1 = 3 ו-Δy = 6 - 2 = 4.
  2. מרחק: d = Δx² + Δy² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5.
  3. אמצע: ממצעים כל שיעור: M = (1 + 42, 2 + 62) = (2.5, 4).
  4. אורך AB = 5, האמצע (2.5, 4), והשיפוע 43.
דוגמה 2ישר דרך (0, 1) ו-(2, 5) - ומאונך לו
  1. שיפוע: m = 5 - 12 - 0 = 42 = 2.
  2. משוואת הישר: כותבים y = 2x + b ומציבים את (0, 1): 1 = 2·0 + b, כלומר b = 1 ו-y = 2x + 1.
  3. שיפוע הניצב: ניצב פירושו m₁·m₂ = -1, לכן m₂ = -12 (ההופכי הנגדי).
  4. הישר y = 2x + 1; הניצב לו דרך (0, 1) הוא y = -12x + 1.
דוגמה 3חיתוך הישרים y = 2x + 1 ו-y = -x + 7
  1. משווים: בנקודת החיתוך שני ה-y שווים, אז 2x + 1 = -x + 7.
  2. פותרים ל-x: מעבירים אגפים: 3x = 6, כלומר x = 2.
  3. מוצאים y: מציבים x = 2 באחת המשוואות: y = 2·2 + 1 = 5.
  4. הישרים נחתכים בנקודה (2, 5).
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - גאומטריה אנליטית

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: מרחק, אמצע ושיפוע בסיסי; משוואת ישר, מקבילות וניצבות; חיתוך שני ישרים ותנאי מקבילות/ניצבות; ועד בעיה משולבת, ניתוח ואיתור טעות ברמת בגרות. כל המרחקים יוצאים שלמים (שלשות פיתגוריות), והשיפועים, האמצעים ונקודות החיתוך נקיים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הנקודות". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1מרחק: d = (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² - משפט פיתגורס במישור.
  • 2אמצע: M = ((x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2) - ממוצע השיעורים.
  • 3שיפוע וישר: m = Δy / Δx, ומשוואה y = mx + b (מוצאים את b בהצבה).
  • 4מקבילים / ניצבים: מקבילים אם m₁ = m₂, ניצבים אם m₁·m₂ = -1.
  • 5חיתוך ישרים: נקודת החיתוך היא הפתרון המשותף - משווים את שתי המשוואות ופותרים.
מרחק, אמצע, שיפוע, ניצבות וחיתוך במבט אחד
הנתוןהחישובהתוצאה
(1, 2), (4, 6)3² + 4² = 25d = 5
(2, 3), (8, 7)((2+8)/2, (3+7)/2)M = (5, 5)
(0, 1), (2, 5)(5-1)/(2-0) = 42m = 2 · y = 2x + 1
m = 2, ניצב2·m = -1m = -12 · ניצב
y = 2x + 1, y = -x + 72x + 1 = -x + 7(2, 5) · חיתוך
מפתח פתרונות (תרגול)

    גאומטריה אנליטית. שרטוט מהיר במערכת צירים חוסך כאן חצי מן הטעויות.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי