נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יב׳ · 3 יח״ל 3 יחידות
גאומטריה אנליטית

שתי נקודות, וכל הישר נפרש

מספיקות שתי נקודות במישור כדי לחשב הכול: את המרחק ביניהן (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)², את אמצע הקטע, את השיפוע ואת משוואת הישר שעובר דרכן. מכאן גם נדע מתי שני ישרים מקבילים, מתי ניצבים ואיפה הם נחתכים. גררו את הנקודות במעבדה וראו הכול משתנה בזמן אמת.

מעבדת שתי הנקודות גררו את A ואת B וצפו במרחק, באמצע, בשיפוע ובמשוואה
y = 2x + 1
מרחק 5 אמצע (2.5, 4) שיפוע 1.33 A (1, 2) B (4, 6)
נקודה A - שיעור x1
נקודה A - שיעור y2
נקודה B - שיעור x4
נקודה B - שיעור y6

איפה פוגשים גאומטריה אנליטית? GPS שמחשב מרחק אווירי בין שתי נקודות ציון, מפה שמוצאת את הנקודה שבאמצע הדרך, מהנדס שבודק אם שני קירות ניצבים - כולם עובדים על אותה מערכת צירים. כל נקודה היא זוג (x, y), וארבע נוסחאות פשוטות - מרחק, אמצע, שיפוע ומשוואת ישר - פותרות את רוב שאלות הבגרות בפרק הזה.

מבט מקרוב

האנטומיה של קטע במישור

לכל קטע בין שתי נקודות A(x₁, y₁) ו-B(x₂, y₂) יש אותם מרכיבים בדיוק: הפרש אופקי Δx, הפרש אנכי Δy, אורך (המרחק), נקודת אמצע ושיפוע. כשמזהים אותם, קוראים כל קטע במבט אחד. הנה המפה המלאה על הדוגמה - הקטע בין (1, 2) ל-(4, 6):

החלקים של קטע - על הקטע מ-(1, 2) ל-(4, 6)
x y Δx = 3 Δy = 4 A (1, 2) B (4, 6) אמצע (2.5, 4) מרחק AB = 5
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב את הגאומטריה האנליטית

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל שאלה במישור, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-3 יח״ל (שאלון 35372). נסו לגרור את הנקודות במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך כל גודל משתנה.

1

מרחק בין שתי נקודות

המרחק בין A(x₁, y₁) ל-B(x₂, y₂) נתון על ידי d = (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)². זה בעצם משפט פיתגורס על המשולש שצלעותיו Δx ו-Δy.

2

אמצע קטע

נקודת האמצע של הקטע היא הממוצע של הקצוות: M = (x₁+x₂2, y₁+y₂2). פשוט מחשבים ממוצע בכל שיעור בנפרד.

3

שיפוע

השיפוע מודד את התלילות: m = y₂-y₁x₂-x₁, כלומר כמה עולה ה-y על כל יחידה של x. שיפוע חיובי - הישר עולה, שלילי - יורד.

4

משוואת הישר

אחרי שיש שיפוע m ונקודה, כותבים y = mx + b ומוצאים את b בהצבה. דרך (0, 1) ו-(2, 5) מתקבל m = 2 ומכאן y = 2x + 1.

5

מקבילים וניצבים

שני ישרים מקבילים אם השיפועים שלהם שווים (m₁ = m₂), ו-ניצבים אם מכפלת השיפועים היא -1 (m₁ · m₂ = -1).

6

חיתוך ישרים

נקודת החיתוך של שני ישרים היא הנקודה שמקיימת את שתי המשוואות יחד. משווים m₁x + b₁ = m₂x + b₂, מוצאים את x, ומציבים כדי לקבל את y.

m₁ = m₂
שיפועים שווים - הישרים מקבילים
m₁ · m₂ = -1
מכפלת השיפועים -1 - הישרים ניצבים
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 3 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: מזהים נקודות, מציבים בנוסחה המתאימה, ומסכמים בתשובה.

דוגמה 1המרחק בין (1, 2) ל-(4, 6)
  1. מחשבים הפרשים: Δx = 4 - 1 = 3 ו-Δy = 6 - 2 = 4.
  2. מציבים בנוסחת המרחק: d = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
  3. המרחק בין הנקודות הוא d = 5.
דוגמה 2אמצע הקטע בין (2, 3) ל-(8, 7)
  1. ממצעים את שיעורי ה-x: 2 + 82 = 5.
  2. ממצעים את שיעורי ה-y: 3 + 72 = 5.
  3. נקודת האמצע היא M = (5, 5).
דוגמה 3הישר דרך (0, 1) ו-(2, 5)
  1. מחשבים שיפוע: m = 5 - 12 - 0 = 42 = 2.
  2. מוצאים את b: הנקודה (0, 1) נמצאת על ציר ה-y, ולכן b = 1.
  3. כותבים את המשוואה: y = 2x + 1.
  4. משוואת הישר היא y = 2x + 1. ישר ניצב לו יהיה בעל שיפוע -12, כי 2 · (-12) = -1.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (חישוב ישיר של מרחק, אמצע ושיפוע), יישום (בעיות בהקשר ושלבים משולבים), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר שתי הנקודות".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1מרחק: d = (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² - פיתגורס על Δx ו-Δy.
  • 2אמצע: M = (x₁+x₂2, y₁+y₂2) - ממוצע השיעורים.
  • 3שיפוע: m = y₂-y₁x₂-x₁.
  • 4משוואת ישר: y = mx + b, מוצאים את b בהצבת נקודה.
  • 5מקבילים/ניצבים: m₁ = m₂ מקבילים, m₁·m₂ = -1 ניצבים.
מפתח פתרונות (תרגול)

    גררו את A ו-B. המרחק, האמצע, השיפוע והמשוואה מתעדכנים יחד.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי