תרגול המודל הריבועי - שיא ואיזון
כל מה שלמדנו על המודל הריבועי של 3 יח״ל, עכשיו לתרגול: תופעה שעולה, מגיעה לשיא ואז יורדת - רווח, גובה של כדור, שטח - מתוארת בפרבולה y = ax² + bx + c. את השיא מוצאים דרך הקודקוד x = -b2a - בלי נגזרת - מציבים לקבל את הערך המרבי או המזערי, ואת נקודות האיזון דרך אפסי הפונקציה. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב ישיר ועד שאלה רב-שלבית ואיתור טעות ברמת בגרות.
אותו סיפור, כל תופעה. דוכן מגלה שכשמעלים את המחיר הרווח קודם עולה, מגיע לשיא, ואז יורד; כדור שנזרק עולה, מגיע לגובה מרבי, וחוזר לקרקע. את שניהם מתאר מודל ריבועי P = ax² + bx + c. השיא הוא הקודקוד ב-x = -b/2a, ונקודות האיזון (רווח 0, גובה 0) הן אפסי הפונקציה. נעבור כאן על השיטה - סימן a, קודקוד, אפסים - ואז לתרגול המדורג.
האנטומיה של מודל ריבועי - תזכורת
נזכר שוב מאילו חלקים בנוי כל מודל ריבועי: נקודות האיזון (שם הגודל מתאפס), הקודקוד (השיא - מקסימום או מינימום) וציר הסימטריה שעובר בו. הנה המפה על דוגמת הרווח P = -x² + 10x - 16 - קודקוד ב-x = 5 עם רווח מרבי 9, ונקודות איזון ב-2 וב-8.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מהמודל הריבועי של 3 יח״ל, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מזיהוי התופעה ומיון מקסימום/מינימום, דרך הקודקוד x = -b/2a והצבה לערך, ועד נקודות האיזון וקריאת התוצאה בהקשר. ואז לתרגול המדורג.
מהו מודל ריבועי
פונקציה ריבועית y = ax² + bx + c (עם a ≠ 0) שמתארת תופעה: רווח כתלות במחיר, גובה כתלות בזמן, שטח כתלות בצלע. הגרף שלה תמיד פרבולה.
מקסימום או מינימום?
הסימן של a קובע: אם a < 0 הפרבולה נפתחת כלפי מטה ולתופעה יש מקסימום (רווח מרבי, גובה שיא), ואם a > 0 כלפי מעלה ויש מינימום (עלות מזערית).
הקודקוד - השיא
שיעור ה-x של הקודקוד הוא x = -b2a (בלי נגזרת!). זה המחיר/הזמן שבו התופעה בשיאה. מציבים אותו בחזרה כדי לקבל את הערך המרבי או המזערי עצמו.
נקודות איזון = אפסים
נקודת איזון היא כשהגודל מתאפס: רווח 0, גובה 0. פותרים ax² + bx + c = 0 בפירוק לגורמים. בדוגמת הרווח -x² + 10x - 16 = 0 מקבלים x = 2 ו-x = 8.
קריאת התוצאה בהקשר
מספר לבדו לא מספיק - צריך לפרש, ולשים לב מה מבקשים. אצל רווח: x של הקודקוד הוא המחיר האופטימלי, וה-y הוא הרווח בשקלים. אצל כדור: x הזמן, וה-y הגובה.
ציר סימטריה ואמצע האפסים
ציר הסימטריה הוא הקו האנכי x = -b2a שעובר בקודקוד. טריק שימושי לבדיקה: הקודקוד תמיד נמצא בדיוק באמצע שתי נקודות האיזון.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 3 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: מזהים מקסימום/מינימום מסימן a, מוצאים את הקודקוד עם x = -b/2a, מציבים לערך, ואת נקודות האיזון מהאפסים.
- מקסימום או מינימום: a = -1 < 0, הפרבולה נפתחת כלפי מטה, ולכן לרווח יש מקסימום.
- מחיר אופטימלי (קודקוד): x = -b2a = -102·(-1) = 5.
- הרווח המרבי: מציבים x = 5: P = -25 + 50 - 16 = 9.
- נקודות איזון (רווח 0): -x² + 10x - 16 = 0 נותן (x - 2)(x - 8) = 0, כלומר x = 2 ו-x = 8.
- רווח מרבי 9 במחיר x = 5, ונקודות האיזון ב-2 וב-8.
- זמן השיא (קודקוד): a = -5, b = 20, ולכן t = -202·(-5) = 2 שניות.
- הגובה המרבי: מציבים t = 2: h = -5·4 + 20·2 = -20 + 40 = 20 מטרים.
- מתי הכדור על הקרקע (גובה 0): -5t² + 20t = 0, מוציאים גורם משותף -5t(t - 4) = 0, ומקבלים t = 0 ו-t = 4.
- הגובה המרבי 20 מטרים אחרי 2 שניות, והכדור חוזר לקרקע אחרי 4 שניות.
- מקסימום: a = -1 < 0, ולכן לרווח יש ערך מרבי.
- מחיר אופטימלי: x = -122·(-1) = 6.
- הרווח המרבי: מציבים x = 6: P = -36 + 72 - 32 = 4.
- נקודות איזון: -x² + 12x - 32 = 0 נותן (x - 4)(x - 8) = 0, כלומר x = 4 ו-x = 8 - והקודקוד 6 באמצע בדיוק.
- רווח מרבי 4 במחיר 6, איזון ב-4 וב-8.
תרגול מדורג - המודל הריבועי
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסוד (חישוב ישיר של קודקוד, ערך קיצון ואפסים); יישום (בעיות מודלינג - רווח, גובה, שטח); מוגברת (מודלים מעורבים, כולל עלות עם מינימום); ועד רמת בגרות (שאלה רב-שלבית מלאה ואיתור טעות). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המודל" שמוצא לכם קודקוד, ערך קיצון ואפסים. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1המודל: y = ax² + bx + c מתאר תופעה - הגרף פרבולה.
- 2שיא: a < 0 מקסימום, a > 0 מינימום.
- 3הקודקוד: x = -b2a - בלי נגזרת! מציבים לקבל את הערך.
- 4נקודות איזון: אפסי הפונקציה - פותרים ax² + bx + c = 0.
- 5פירוש: תמיד קוראים את x ואת y בהקשר, ושמים לב מה נשאל.
| התופעה | הצורה | הקודקוד (x = -b/2a) | נקודות איזון |
|---|---|---|---|
| רווח (מקסימום, a<0) | P = -x² + 10x - 16 | x = 5 , P = 9 | 2 , 8 |
| גובה כדור (a<0) | h = -5t² + 20t | t = 2 , h = 20 | 0 , 4 |
| שטח גינה (a<0) | A = -x² + 10x | x = 5 , A = 25 | 0 , 10 |
| עלות (מינימום, a>0) | y = x² - 6x + 5 | x = 3 , y = -4 | 1 , 5 |
