לתאר תופעה עם פרבולה
רווח של עסק, גובה של כדור שנזרק, שטח של גינה - כולם עולים, מגיעים לשיא, ואז יורדים. זו בדיוק צורת הפרבולה. ב-3 יח״ל מוצאים את השיא (מקסימום או מינימום) דרך הקודקוד x = -b2a - בלי נגזרת - ואת נקודות האיזון דרך אפסי הפונקציה. הזיזו את המקדמים במעבדה וראו את המודל חי.
איפה חבוי מודל ריבועי? דוכן מגלה שכשמעלים את המחיר הרווח קודם עולה, מגיע לשיא, ואז מתחיל לרדת - כי קונים פחות. אותו סיפור בדיוק מספר כדור שנזרק לאוויר: הוא עולה, מגיע לגובה מרבי בקודקוד, וחוזר לקרקע. את שני הסיפורים מתאר מודל ריבועי P = ax² + bx + c. השיא הוא הקודקוד, ונקודות האיזון (רווח 0, גובה 0) הן אפסי הפונקציה.
האנטומיה של מודל ריבועי
לכל מודל ריבועי אותם חלקים משמעותיים: נקודות האיזון (שם הגודל מתאפס), הקודקוד (השיא - מקסימום או מינימום) וציר הסימטריה שעובר בו. הנה המפה המלאה על דוגמת הרווח P = -x² + 10x - 16:
מה מרכיב מודל ריבועי
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל מודל ריבועי בבגרות של 3 יח״ל - מזיהוי התופעה ועד לפירוש השיא בהקשר. נסו לשנות במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה.
מהו מודל ריבועי
פונקציה ריבועית y = ax² + bx + c (עם a ≠ 0) שמתארת תופעה: רווח כתלות במחיר, גובה כתלות בזמן, שטח כתלות בצלע. הגרף שלה תמיד פרבולה.
מקסימום או מינימום?
הסימן של a קובע: אם a < 0 הפרבולה נפתחת כלפי מטה ולתופעה יש מקסימום (רווח מרבי, גובה שיא), ואם a > 0 כלפי מעלה ויש מינימום.
הקודקוד - השיא
שיעור ה-x של הקודקוד הוא x = -b2a (בלי נגזרת!). זה המחיר/הזמן שבו התופעה בשיאה. מציבים אותו כדי לקבל את הערך המרבי או המינימלי עצמו.
נקודות איזון = אפסים
נקודת איזון היא כשהגודל מתאפס: רווח 0, גובה 0. פותרים ax² + bx + c = 0. בדוגמת הרווח -x² + 10x - 16 = 0 מקבלים x = 2 ו-x = 8.
קריאת התוצאה בהקשר
מספר לבדו לא מספיק - צריך לפרש. אצל רווח: x של הקודקוד הוא המחיר האופטימלי, וה-y הוא הרווח בשקלים. אצל כדור: x הוא הזמן בשניות, וה-y הגובה במטרים.
ציר סימטריה ואמצע האפסים
ציר הסימטריה הוא הקו האנכי x = -b2a שעובר בקודקוד. טריק שימושי: הקודקוד תמיד נמצא בדיוק באמצע שתי נקודות האיזון.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות בסגנון בגרות של 3 יח״ל. השיטה חוזרת: מזהים מקסימום/מינימום מסימן a, מוצאים את הקודקוד עם x = -b/2a, ואת נקודות האיזון מהאפסים.
- מקסימום או מינימום: a = -1 < 0, הפרבולה נפתחת כלפי מטה, ולכן לרווח יש מקסימום.
- מחיר אופטימלי (קודקוד): x = -b2a = -102·(-1) = 5.
- הרווח המרבי: מציבים x = 5: P = -25 + 50 - 16 = 9.
- נקודות איזון (רווח 0): פותרים -x² + 10x - 16 = 0, כלומר (x - 2)(x - 8) = 0, ומקבלים x = 2 ו-x = 8.
- הרווח המרבי הוא 9 במחיר x = 5, ונקודות האיזון ב-x = 2 ו-x = 8.
- זמן השיא (קודקוד): a = -5, b = 20, ולכן t = -202·(-5) = 2 שניות.
- הגובה המרבי: מציבים t = 2: h = -5·4 + 20·2 = -20 + 40 = 20 מטרים.
- מתי הכדור על הקרקע (גובה 0): פותרים -5t² + 20t = 0, מוציאים גורם משותף -5t(t - 4) = 0, ומקבלים t = 0 ו-t = 4.
- הגובה המרבי 20 מטרים אחרי 2 שניות, והכדור חוזר לקרקע אחרי 4 שניות.
- מקסימום: a = -1 < 0, ולכן לרווח יש ערך מרבי.
- מחיר אופטימלי: x = -122·(-1) = 6.
- הרווח המרבי: P = -36 + 72 - 32 = 4.
- נקודות איזון: -x² + 12x - 32 = 0 נותן (x - 4)(x - 8) = 0, כלומר x = 4 ו-x = 8 - והקודקוד 6 באמצע בדיוק.
- רווח מרבי 4 במחיר 6, איזון ב-4 וב-8.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (חישוב ישיר של קודקוד ואפסים), יישום (בעיות מודלינג - רווח, גובה, שטח), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם פירוש). פתרו סט ועברו לבא עם החצים. בשאלות הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המודל".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1המודל: y = ax² + bx + c מתאר תופעה - הגרף פרבולה.
- 2שיא: a < 0 מקסימום, a > 0 מינימום.
- 3הקודקוד: x = -b2a - בלי נגזרת! מציבים לקבל את הערך.
- 4נקודות איזון: אפסי הפונקציה - פותרים ax² + bx + c = 0.
- 5פירוש: תמיד קוראים את x ואת y בהקשר (מחיר/רווח, זמן/גובה).
