תרגול גופים במרחב - נפח ושטח פנים
כל מה שלמדנו על מדידת גופים, עכשיו לתרגול: תיבה, קובייה, גליל, חרוט, פירמידה, מנסרה וכדור - לכל גוף נוסחת נפח ונוסחת שטח פנים משלו. השיטה קבועה: מזהים את הגוף, שולפים את הנוסחה הנכונה, ומציבים עם פאי ≈ 3.14. זכרו את עוגן הזיכרון - חרוט ופירמידה תמיד עם שליש; גליל ומנסרה בלי שליש. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מהצבה ישירה ועד שאלה רב-שלבית ואיתור טעות ברמת בגרות.
כל גוף - נוסחה משלו. פחית שתייה היא גליל, גביע גלידה הוא חרוט, כדורגל הוא כדור, וקופסה היא תיבה. הנפח אומר כמה נכנס בפנים (סמ״ק, ליטרים), ושטח הפנים אומר כמה עוטף מבחוץ (הפח, הנייר). כל שאלה מתחילה בזיהוי הגוף - ומשם הנוסחה עושה את העבודה. נרענן כאן את הנוסחאות ואת עוגן השליש, ומשם לתרגול המדורג.
האנטומיה של גליל - תזכורת
נזכר שוב מאילו חלקים בנוי הגוף הנפוץ ביותר בבגרות - הגליל. שני מספרים קובעים הכול: הרדיוס r והגובה h. הנה גליל שבו r = 5 ו-h = 10, עם המעטפת שמתגלגלת בין שני הבסיסים - נפח V = פאי·r²·h = 250פאי ≈ 785.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה גופים, שש חבילות נוסחה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד. הסוד הוא לזהות את הגוף לפי הצורה, ואז לשלוף את הנוסחה המתאימה - ולזכור מי מקבל שליש ומי לא. נסו לבחור כל גוף במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, ואז לתרגול המדורג.
תיבה וקובייה
תיבה עם צלעות a, b, c: הנפח V = a·b·c. בקובייה כל הצלעות שוות, ולכן V = a³ ושטח הפנים 6a² (שש פאות). למשל קובייה עם צלע 4: V = 64, שטח פנים 96.
גליל
גליל עם רדיוס r וגובה h: הנפח V = פאי·r²·h, ושטח המעטפת 2·פאי·r·h. גליל r = 5, h = 10: V = 250פאי ≈ 785. בלי שליש!
חרוט
חרוט (כמו גביע גלידה) עם רדיוס בסיס r וגובה h: הנפח הוא שליש מהגליל בעל אותם ממדים, V = 13·פאי·r²·h. שימו לב לשליש - הוא מבדיל חרוט מגליל.
פירמידה
לפירמידה בסיס (מרובע, משולש) וקודקוד אחד מעליו. הנפח V = 13·שטח הבסיס·גובה. קודם מחשבים את שטח הבסיס, מכפילים בגובה, ולוקחים שליש.
כדור
לכדור יש רק מספר אחד - הרדיוס r. הנפח V = 43·פאי·r³, ושטח הפנים 4·פאי·r². כדור r = 3: V = 36פאי ≈ 113.
מנסרה משולשת
מנסרה משולשת היא כמו "תיבה" שבסיסה משולש. הנפח V = שטח הבסיס·גובה (בלי שליש - זו לא פירמידה!). מחשבים את שטח המשולש שבבסיס, ומכפילים באורך המנסרה.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 3 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: לזהות את הגוף, לשלוף את הנוסחה, לבדוק אם יש שליש, ולהציב עם פאי ≈ 3.14.
- מזהים גוף ונוסחה: זהו גליל, ולכן V = פאי·r²·h (בלי שליש).
- מציבים: V = פאי·5²·10 = פאי·25·10 = 250פאי.
- מחשבים עם פאי ≈ 3.14: V ≈ 250·3.14 = 785.
- הנפח הוא 250פאי ≈ 785 יחידות מעוקבות.
- מזהים גוף ונוסחה: קובייה - כל הצלעות שוות, V = a³ ושטח פנים 6a².
- נפח: V = 4³ = 64 יחידות מעוקבות.
- שטח פנים: 6·4² = 6·16 = 96 יחידות ריבועיות (שש פאות זהות).
- קובייה בעלת צלע 4: V = 64, שטח פנים = 96.
- מזהים גוף ונוסחה: כדור, ולכן V = 43·פאי·r³.
- מציבים: V = 43·פאי·3³ = 43·פאי·27 = 36פאי.
- מחשבים עם פאי ≈ 3.14: V ≈ 36·3.14 ≈ 113.
- הנפח הוא 36פאי ≈ 113 יחידות מעוקבות.
תרגול מדורג - גופים במרחב
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסוד (הצבה ישירה בנוסחה); יישום (בעיות מהחיים - פחית, גביע, כדורגל, קופסה); מוגברת (גופים מעורבים, כולל מנסרה, פירמידה וממד הפוך); ועד רמת בגרות (שאלה רב-שלבית ואיתור טעות). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הגופים" שמחשב נפח ושטח פנים לכל גוף. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1תיבה/קובייה: V = a·b·c; קובייה V = a³, שטח פנים 6a².
- 2גליל: V = פאי·r²·h, מעטפת 2·פאי·r·h - בלי שליש.
- 3חרוט ופירמידה: תמיד עם שליש - חרוט ⅓·פאי·r²·h, פירמידה ⅓·שטח הבסיס·גובה.
- 4מנסרה: V = שטח הבסיס·גובה - בלי שליש (לא פירמידה!).
- 5כדור: V = ⁴⁄₃·פאי·r³, שטח פנים 4·פאי·r². השתמשו ב-פאי ≈ 3.14.
| הגוף | נפח | שטח פנים / מעטפת | שליש? |
|---|---|---|---|
| תיבה | V = a·b·c | 2(ab + ah + bh) | לא |
| קובייה | V = a³ | 6a² | לא |
| גליל | V = פאי·r²·h | מעטפת 2·פאי·r·h | לא |
| מנסרה משולשת | V = שטח הבסיס·h | - | לא |
| חרוט | V = ⅓·פאי·r²·h | פאי·r² + פאי·r·l | כן |
| פירמידה | V = ⅓·שטח הבסיס·h | - | כן |
| כדור | V = ⁴⁄₃·פאי·r³ | 4·פאי·r² | לא |
