נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יב׳ · 3 יח״ל 3 יחידות
גאומטריה במרחב

למדוד כל גוף במרחב

תיבה, קובייה, מנסרה, פירמידה, גליל, חרוט וכדור - לכל גוף נוסחת נפח ונוסחת שטח פנים משלו. בדף הזה נלמד לזהות את הגוף, לשלוף את הנוסחה הנכונה ולהציב את הנתונים. בחרו גוף במעבדה, גררו את הממדים וצפו בנפח ובשטח הפנים משתנים בזמן אמת.

מעבדת הגופים בחרו גוף, שנו את הממדים וצפו בנפח ובשטח
V = a·b·c
נפח - שטח פנים -
רוחב a4
עומק b4
גובה h4

כמה נכנס פנימה? כמה עוטף מבחוץ? פחית שתייה היא גליל, כדורגל הוא כדור, גלידה בגביע היא חרוט, ופירמידת מצרים היא… פירמידה. הנפח אומר כמה חומר נכנס בפנים (ליטרים, סמ״ק), ושטח הפנים אומר כמה חומר עוטף אותו מבחוץ (הפח, העור, הנייר). כל שאלה בבגרות מתחילה בזיהוי הגוף - ומשם הנוסחה עושה את העבודה.

מבט מקרוב

האנטומיה של גליל

נתחיל מהגוף הנפוץ ביותר בבגרות - הגליל. הוא בנוי משני בסיסים עגולים ומעטפת שמתגלגלת ביניהם. שני מספרים קובעים הכול: הרדיוס r והגובה h. הנה גליל שבו r = 5 ו-h = 10, על כל חלקיו:

החלקים של הגליל - r = 5, h = 10
רדיוס r = 5 גובה h = 10 בסיס עליון (מעגל) מעטפת 2·פאי·r·h נפח: V = פאי·r²·h = 250פאי ≈ 785
נכיר צעד אחר צעד

הגופים והנוסחאות שלהם

שישה גופים, שש חבילות נוסחה. הסוד הוא לזהות את הגוף לפי הצורה, ואז לשלוף את הנוסחה המתאימה. נסו לבחור כל גוף במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך הנפח ושטח הפנים מגיבים לממדים.

1

תיבה וקובייה

תיבה עם צלעות a, b, c: הנפח V = a·b·c. בקובייה כל הצלעות שוות, ולכן V = a³ ושטח הפנים 6a² (שש פאות). למשל קובייה עם צלע 4: V = 64, שטח פנים 96.

2

גליל

גליל עם רדיוס r וגובה h: הנפח V = פאי·r²·h, ושטח המעטפת 2·פאי·r·h. שטח פנים מלא מוסיף שני בסיסים: 2·פאי·r² + 2·פאי·r·h. גליל r = 5, h = 10: V = 250פאי ≈ 785.

3

חרוט

חרוט (כמו גביע גלידה) עם רדיוס בסיס r וגובה h: הנפח הוא שליש מהגליל בעל אותם ממדים, V = 13·פאי·r²·h. שימו לב לשליש - הוא מבדיל חרוט מגליל.

4

פירמידה

לפירמידה בסיס (מרובע, משולש) וקודקוד אחד מעליו. הנפח V = 13·שטח הבסיס·גובה. קודם מחשבים את שטח הבסיס, מכפילים בגובה, ולוקחים שליש.

5

כדור

לכדור יש רק מספר אחד - הרדיוס r. הנפח V = 43·פאי·r³, ושטח הפנים 4·פאי·r². כדור r = 3: V = 36פאי ≈ 113.

6

מנסרה משולשת

מנסרה משולשת היא כמו "תיבה" שבסיסה משולש. הנפח V = שטח הבסיס·גובה (בלי שליש - זו לא פירמידה!). מחשבים את שטח המשולש שבבסיס, ומכפילים באורך המנסרה.

גליל
גליל: V = פאי·r²·h
חרוט
חרוט: V = ⅓·פאי·r²·h (שליש!)
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 3 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: לזהות את הגוף, לשלוף את הנוסחה, להציב, ולהשתמש ב-פאי ≈ 3.14 בחישוב.

דוגמה 1גליל: r = 5, h = 10
  1. מזהים גוף ונוסחה: זהו גליל, ולכן V = פאי·r²·h.
  2. מציבים: V = פאי·5²·10 = פאי·25·10 = 250פאי.
  3. מחשבים עם פאי ≈ 3.14: V ≈ 250·3.14 = 785.
  4. הנפח הוא 250פאי ≈ 785 יחידות מעוקבות.
דוגמה 2קובייה: צלע a = 4
  1. מזהים גוף ונוסחה: קובייה - כל הצלעות שוות, V = a³ ושטח פנים 6a².
  2. נפח: V = 4³ = 64 יחידות מעוקבות.
  3. שטח פנים: 6·4² = 6·16 = 96 יחידות ריבועיות (שש פאות זהות).
  4. קובייה בעלת צלע 4: V = 64, שטח פנים = 96.
דוגמה 3כדור: r = 3
  1. מזהים גוף ונוסחה: כדור, ולכן V = 43·פאי·r³.
  2. מציבים: V = 43·פאי·3³ = 43·פאי·27 = 36פאי.
  3. מחשבים עם פאי ≈ 3.14: V ≈ 36·3.14 ≈ 113.
  4. הנפח הוא 36פאי ≈ 113 יחידות מעוקבות.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (הצבה ישירה בנוסחה), יישום (בעיה מילולית מהחיים), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הגופים".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1תיבה/קובייה: V = a·b·c; קובייה V = a³, שטח פנים 6a².
  • 2גליל: V = פאי·r²·h, מעטפת 2·פאי·r·h.
  • 3חרוט: V = ⅓·פאי·r²·h - שליש מהגליל!
  • 4פירמידה: V = ⅓·שטח הבסיס·גובה.
  • 5כדור: V = ⁴⁄₃·פאי·r³, שטח פנים 4·פאי·r². השתמשו ב-פאי ≈ 3.14.
מפתח פתרונות (תרגול)

    בחרו גוף וגררו ממדים. הנפח ושטח הפנים אינם גדלים באותו קצב.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי