תרגול מבני קוביות - ספירה, מבטים ושטח
כל מה שלמדנו על ראייה מרחבית, עכשיו לתרגול: כל מבנה קוביות מתואר בשלושה מבטים - מלפנים, מהצד ומלמעלה. לתיבה מלאה בגודל L × W × H מספר הקוביות הוא L · W · H והשטח החשוף הוא 2(LW + LH + WH). זכרו: מבט-על מראה את הבסיס L · W בלבד - הגובה מוסתר. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מספירה ישירה ועד שאלה רב-שלבית ואיתור טעות ברמת בגרות.
שלושה תרשימים, מבנה אחד. מהנדס מקבל שלושה מבטים - מה רואים מלפנים, מהצד ומלמעלה - ומהם לבדם משחזר את המבנה: כמה קוביות בו וכמה פאות חשופות לצבע. נעבור כאן על השיטה - שלושת המבטים, ספירת L · W · H, שטח חשוף 2(LW + LH + WH), ושינוי השטח בהוספה או הסרה של קובייה - ומשם לתרגול המדורג.
האנטומיה של מבנה קוביות - תזכורת
נזכר שוב מאילו נתונים בנוי כל מבנה: מספר הקוביות (כמה קוביות יחידה בונות אותו) והשטח החשוף (כמה פאות יחידה גלויות מבחוץ). הנה המפה על הדוגמה - תיבה מלאה בגודל 3 × 2 × 2: 12 קוביות, מלמעלה רואים 6, והשטח החשוף הוא 32.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מראייה מרחבית של 3 יח״ל, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: שלושת המבטים, ספירת קוביות בתיבה מלאה, מבט-על שמסתיר את הגובה, שטח פנים חשוף, ושינוי השטח בהוספה או הסרה של קובייה. ואז לתרגול המדורג.
שלושת המבטים
כל מבנה מתואר בשלושה תרשימים: מלפנים (L · H), מהצד (W · H) ומלמעלה (L · W). משלושתם יחד משחזרים את המבנה כולו.
ספירת קוביות בתיבה מלאה
בתיבה מלאה בגודל L × W × H מספר הקוביות הוא המכפלה L · W · H. למשל מבנה 3 × 2 × 2 מכיל 3 · 2 · 2 = 12 קוביות.
מבט מלמעלה - הגובה מוסתר
מספר הקוביות שרואים מלמעלה הוא הבסיס L · W בלבד - לא הגובה. בתיבה 3 × 2 × 2 רואים מלמעלה 3 · 2 = 6, כי כל עמודה בגובה 2 מסתירה את הקובייה שמתחתיה.
שטח פנים חשוף
כל פאה של קובייה שגלויה לאוויר היא יחידת שטח אחת. בתיבה מלאה השטח החשוף הוא 2(LW + LH + WH). בדוגמה: 2(3·2 + 3·2 + 2·2) = 2·16 = 32 יחידות שטח.
הוספת קובייה
קובייה חדשה הנוגעת ב-k שכנות משנה את השטח החשוף ב-6 - 2k: היא מוסיפה 6 פאות, אך כל מגע מסתיר 2 פאות (אחת שלה ואחת של השכנה).
הסרת קובייה
הסרת קובייה הנוגעת ב-k שכנות משנה את השטח ב-2k - 6: פאותיה נעלמות (מורידות 6), אך k פאות של השכנות נחשפות מחדש. קוביית פינה (k = 3) כמעט אינה משנה את השטח.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 3 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: מזהים את המבנה מהמבטים, סופרים קוביות עם L · W · H, ומחשבים שטח חשוף עם 2(LW + LH + WH).
- ספירת קוביות: תיבה מלאה, ולכן מכפילים את שלוש המידות: 3 · 2 · 2 = 12 קוביות.
- מבט מלמעלה: רואים את שכבת התקרה בלבד - L · W = 3 · 2 = 6 קוביות (הגובה מוסתר).
- שטח פנים חשוף: 2(LW + LH + WH) = 2(3·2 + 3·2 + 2·2) = 2(6 + 6 + 4) = 2 · 16.
- במבנה 12 קוביות, ושטח הפנים החשוף הוא 32 יחידות שטח.
- המצב ההתחלתי: בתיבה 3 × 2 × 2 יש 12 קוביות ושטח חשוף 32.
- מסירים קובייה מהפינה: קוביית פינה נוגעת ב-k = 3 שכנות. השינוי בשטח הוא 2k - 6 = 2·3 - 6 = 0.
- ספירה חדשה: נשארו 12 - 1 = 11 קוביות, והשטח החשוף נשאר 32 (הגומחה החדשה חושפת בדיוק כמה פאות שהיו מוסתרות).
- אחרי ההסרה: 11 קוביות, שטח חשוף 32 - הסרת קוביית פינה אינה משנה את השטח.
- המצב ההתחלתי: 12 קוביות, שטח חשוף 32.
- מניחים קובייה על הפאה העליונה: היא נוגעת רק בקובייה אחת שמתחתיה, כלומר k = 1.
- השינוי בשטח: 6 - 2k = 6 - 2·1 = 4 - הקובייה מוסיפה 6 פאות ומסתירה 2, נטו +4.
- אחרי ההוספה: 13 קוביות, ושטח חשוף 32 + 4 = 36 יחידות שטח.
תרגול מדורג - מבני קוביות
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסוד (ספירה וחישוב ישיר - קוביות, מבטים ושטח); יישום (מבנים, מבטים ושטח פנים); מוגברת (הוספה, הסרה ומבנים מעורבים); ועד רמת בגרות (שאלה רב-שלבית מלאה ואיתור טעות). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המבנה" שמחשב מספר קוביות, שטח חשוף ואת שלושת המבטים. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1שלושה מבטים: מלפנים L · H, מהצד W · H, מלמעלה L · W.
- 2ספירת קוביות בתיבה מלאה: L · W · H.
- 3מבט מלמעלה: הבסיס L · W - הגובה מוסתר.
- 4שטח פנים חשוף: 2(LW + LH + WH).
- 5שינוי בשטח: הוספת קובייה הנוגעת ב-k שכנות משנה ב-6 - 2k, והסרה ב-2k - 6.
| התיבה | מספר קוביות | מבט מלמעלה | שטח חשוף |
|---|---|---|---|
| 3 × 2 × 2 | 12 | 6 | 32 |
| 2 × 2 × 2 | 8 | 4 | 24 |
| 4 × 3 × 2 | 24 | 12 | 52 |
| 5 × 4 × 3 | 60 | 20 | 94 |
