לספור קוביות ופאות במבט אחד
כל מבנה קוביות אפשר לתאר בשלושה מבטים - מלפנים, מהצד ומלמעלה. מהם סופרים כמה קוביות יש במבנה וכמה פאות חשופות. לתיבה מלאה בגודל L × W × H מספר הקוביות הוא L · W · H והשטח החשוף הוא 2(LW + LH + WH). סובבו את המבנה במעבדה וצפו בספירה משתנה בזמן אמת.
איך רואים מבנה בלי לגעת בו? מהנדס מקבל שלושה תרשימים: מה רואים מלפנים, מה רואים מהצד ומה רואים מלמעלה. מהם לבדם הוא משחזר את המבנה כולו - כמה קוביות בו, וכמה פאות חשופות לצבע. זו בדיוק המיומנות שנדרשת בשאלון 35372: לקרוא מבנה תלת-ממדי מתוך מבטים דו-ממדיים, לספור קוביות, ולחשב שטח פנים חשוף.
האנטומיה של מבנה קוביות
לכל מבנה יש שני נתונים מרכזיים: מספר הקוביות (כמה קוביות יחידה בונות אותו) והשטח החשוף (כמה פאות יחידה גלויות מבחוץ). הנה המפה המלאה על הדוגמה - תיבה מלאה בגודל 3 × 2 × 2:
מה מרכיב מבנה קוביות
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בכל מבנה קוביות, בדיוק כפי שהם נדרשים בשאלון 35372. נסו לשנות במעבדה שלמעלה כל מושג תוך כדי קריאה, וצפו איך הספירה מגיבה.
שלושת המבטים
כל מבנה מתואר בשלושה תרשימים: מלפנים (חזית), מהצד (רוחב) ומלמעלה (מבט-על). כל תרשים מראה כמה קוביות רואים בכל שורה ועמודה מאותו כיוון - ומשלושתם יחד משחזרים את המבנה.
ספירת קוביות בתיבה מלאה
בתיבה מלאה בגודל L × W × H מספר הקוביות הוא המכפלה L · W · H. למשל מבנה 3 × 2 × 2 מכיל 3 · 2 · 2 = 12 קוביות.
מבט מלמעלה
מספר הקוביות שרואים מלמעלה הוא מספר העמודות במבנה - כלומר L · W. בתיבה 3 × 2 × 2 רואים מלמעלה 3 · 2 = 6 קוביות, כי כל עמודה בגובה 2 מסתירה את הקובייה שמתחתיה.
שטח פנים חשוף
כל פאה של קובייה שגלויה לאוויר נחשבת יחידת שטח אחת. בתיבה מלאה השטח החשוף הוא 2(LW + LH + WH). בדוגמה: 2(3·2 + 3·2 + 2·2) = 2·16 = 32 יחידות שטח.
הוספת קובייה
כשמוסיפים קובייה, היא מכסה פאות של שכנותיה אך חושפת פאות משלה. אם הקובייה החדשה נוגעת ב-k קוביות קיימות, השטח החשוף משתנה ב-6 - 2k: הקובייה מוסיפה 6 פאות, אך כל מגע מסתיר 2 פאות (אחת שלה ואחת של השכנה).
הסרת קובייה
כשמסירים קובייה שנוגעת ב-k שכנות, השטח החשוף משתנה ב-2k - 6: הפאות שלה נעלמות (מורידות 6), אך k פאות של השכנות נחשפות מחדש (מוסיפות 2k). קובייה בפינה (k = 3) כמעט אינה משנה את השטח.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון שאלון 35372. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: מזהים את המבנה מהמבטים, סופרים קוביות, ומחשבים שטח חשוף.
- ספירת קוביות: תיבה מלאה, ולכן מכפילים את שלוש המידות: 3 · 2 · 2 = 12 קוביות.
- מבט מלמעלה: רואים את שכבת התִּקְרָה בלבד - L · W = 3 · 2 = 6 קוביות.
- שטח פנים חשוף: 2(LW + LH + WH) = 2(3·2 + 3·2 + 2·2) = 2(6 + 6 + 4) = 2 · 16.
- במבנה 12 קוביות, ושטח הפנים החשוף הוא 32 יחידות שטח.
- המצב ההתחלתי: בתיבה 3 × 2 × 2 יש 12 קוביות ושטח חשוף 32.
- מסירים קובייה מהפינה: קובייה בפינה נוגעת ב-k = 3 שכנות. השינוי בשטח הוא 2k - 6 = 2·3 - 6 = 0.
- ספירה חדשה: נשארו 12 - 1 = 11 קוביות, והשטח החשוף נשאר 32 (הגומחה החדשה חושפת בדיוק כמה פאות שהיו מוסתרות).
- אחרי ההסרה: 11 קוביות, שטח חשוף 32 - הסרת קוביית פינה אינה משנה את השטח.
- המצב ההתחלתי: 12 קוביות, שטח חשוף 32.
- מניחים קובייה על הפאה העליונה: היא נוגעת רק בקובייה אחת שמתחתיה, כלומר k = 1.
- השינוי בשטח: 6 - 2k = 6 - 2·1 = 4 - הקובייה מוסיפה 6 פאות ומסתירה 2, נטו +4.
- אחרי ההוספה: 13 קוביות, ושטח חשוף 32 + 4 = 36 יחידות שטח.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (ספירה וחישוב ישיר), יישום (מבנים מתוך מבטים וסיטואציות), ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המבנה".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1שלושה מבטים: מלפנים, מהצד ומלמעלה - משלושתם משחזרים כל מבנה.
- 2ספירת קוביות בתיבה מלאה: L · W · H.
- 3מבט מלמעלה: מספר העמודות L · W.
- 4שטח פנים חשוף: 2(LW + LH + WH).
- 5שינוי בשטח: הוספת קובייה נוגעת ב-k שכנות משנה ב-6 - 2k, והסרה ב-2k - 6.
