תרגול הסדרה החשבונית
כל מה שלמדנו על הסדרה החשבונית - ההפרש הקבוע d = aₙ - aₙ₋₁, האיבר הכללי aₙ = a₁ + (n - 1)d, הסכום Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, חילוץ d ו-a₁ משני איברים, ונוסחת הסכום החלופית Sₙ = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מאיבר בודד ועד שאלת בגרות רב-שלבית ואיתור טעות. זכרו את השיטה: מזהים a₁ ו-d, מציבים באיבר הכללי, ואז בנוסחת הסכום.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון. השיטה קבועה: מזהים את האיבר הראשון a1 ואת ההפרש d, מציבים בנוסחת האיבר הכללי (aN = a1 + (n - 1)d), ולסכום Sn = n(a1 + aN)/2. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". איבר ראשון · הפרש · סכום
כמה זה 2 + 5 + 8 + … עד עשרה איברים? אפשר לחבר בסבלנות, אבל בסדרה חשבונית יש קיצור דרך. ההפרש כאן קבוע - d = 3 - ולכן האיבר העשירי הוא a₁₀ = 2 + 9·3 = 29, והסכום הוא בסך הכול הממוצע של האיבר הראשון והאחרון כפול מספר האיברים: S₁₀ = 10(2 + 29)/2 = 155. נזכיר כאן את שתי הנוסחאות - אחת לאיבר, אחת לסכום - ואז לתרגול המדורג.
האנטומיה של סדרה חשבונית - תזכורת
נזכר שוב בשיטה: בסדרה אחת נפגשים כל המרכיבים - האיבר הראשון a₁, ההפרש הקבוע d שמוסיפים בכל צעד, האיבר הכללי aₙ = a₁ + (n - 1)d והסכום הרץ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. הנה המפה המלאה על הדוגמה a₁ = 4, d = 3, שבה a₂₀ = 4 + 19·3 = 61 והסכום S₂₀ = 20(4 + 61)/2 = 650 - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה כלים שנותנים שליטה מלאה בסדרה החשבונית של כיתה יב׳ (4 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מההפרש הקבוע, דרך האיבר הכללי והסכום, ועד חילוץ d ו-a₁ משני איברים ונוסחת סכום חלופית. ואז לתרגול המדורג.
ההפרש הקבוע d
סדרה היא חשבונית אם ההפרש בין כל איבר לקודמו קבוע: d = aₙ - aₙ₋₁. ב-2, 5, 8, … ההפרש הוא d = 3 - מוסיפים 3 בכל צעד.
האיבר הכללי, כלל נסיגה והקשר לסכום
כדי להגיע לאיבר ה-n מוסיפים את d בדיוק n - 1 פעמים: aₙ = a₁ + (n - 1)d. ל-a₁ = 4, d = 3 מקבלים a₂₀ = 4 + 19·3 = 61.
שני ייצוגים לאותה סדרה. כלל לפי מקום: aₙ = a₁ + (n - 1)d. כלל נסיגה: a₁ נתון , aₙ₊₁ = aₙ + d - כל איבר מוגדר באמצעות הקודם, ולכן חובה לציין גם את האיבר הראשון. הקשר לסכום: Sₙ - Sₙ₋₁ = aₙ. הוכחה שסדרה חשבונית: מראים שההפרש aₙ₊₁ - aₙ קבוע, או שכל איבר הוא הממוצע החשבוני של שכניו.
סכום n האיברים
הסכום הוא הממוצע של האיבר הראשון והאחרון, כפול מספר האיברים: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. ל-a₁ = 4, d = 3 יוצא S₂₀ = 20(4 + 61)/2 = 650.
למצוא d משני איברים
בין aₖ ל-aₘ יש m - k קפיצות: d = (aₘ - aₖ)/(m - k). אם a₃ = 10 ו-a₇ = 22 אז d = (22 - 10)/4 = 3.
ומשם - למצוא a₁
אחרי ש-d ידוע, חוזרים אחורה מאיבר ידוע: a₁ = aₖ - (k - 1)d. מ-a₃ = 10, d = 3 מקבלים a₁ = 10 - 2·3 = 4.
נוסחת סכום חלופית
מציבים aₙ = a₁ + (n - 1)d בנוסחת הסכום ומקבלים ביטוי ב-a₁ וב-d בלבד: Sₙ = n(2a₁ + (n - 1)d)/2. כך S₁₀ של 2, 5, 8, … הוא 10(2·2 + 9·3)/2 = 155.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: מזהים a₁ ו-d, מציבים בנוסחת האיבר הכללי, ואז בנוסחת הסכום. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מזהים את הנתונים: האיבר הראשון a₁ = 4 וההפרש d = 3.
- מוצאים את האיבר העשרים: a₂₀ = a₁ + (20 - 1)d = 4 + 19·3 = 4 + 57 = 61.
- מציבים בנוסחת הסכום: S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀)/2 = 20(4 + 61)/2 = 20·652.
- האיבר העשרים הוא a₂₀ = 61 והסכום הוא S₂₀ = 650.
- מספרים את הקפיצות: מ-a₃ ל-a₇ יש 7 - 3 = 4 קפיצות של d.
- מחלצים את ההפרש: d = (a₇ - a₃)/4 = (22 - 10)/4 = 124 = 3.
- חוזרים אל האיבר הראשון: a₁ = a₃ - 2d = 10 - 2·3 = 4.
- ההפרש הוא d = 3 והאיבר הראשון הוא a₁ = 4.
- מזהים a₁ ו-d: האיבר הראשון a₁ = 2 וההפרש d = 5 - 2 = 3.
- מוצאים את האיבר העשירי: a₁₀ = 2 + (10 - 1)·3 = 2 + 27 = 29.
- מציבים בנוסחת הסכום החלופית: S₁₀ = 10(2a₁ + 9d)/2 = 10(2·2 + 9·3)/2 = 10·312.
- סכום עשרת האיברים הראשונים הוא S₁₀ = 155.
תרגול מדורג - הסדרה החשבונית
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: איבר בודד, הפרש וסכום ישיר; חילוץ d ו-a₁ משני איברים ובניית סכום; רב-שלבי ונוסחת סכום; ועד שאלת בגרות רב-שלבית ואיתור טעות. כל השאלות מבוססות על אותה שיטה (aₙ = a₁ + (n - 1)d ו-Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2), והתשובות המספריות יוצאות שלמות ומדויקות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הסדרה" שמחשבת aₙ ו-Sₙ מ-a₁, d, n, וגם מחלצת d ו-a₁ משני איברים. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הפרש קבוע: d = aₙ - aₙ₋₁ - מוסיפים אותו בכל צעד.
- 2איבר כללי: aₙ = a₁ + (n - 1)d.
- 3סכום: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 - ממוצע הקצוות כפול מספר האיברים.
- 4מוצאים d משני איברים: d = (aₘ - aₖ)/(m - k), ואז a₁ = aₖ - (k - 1)d.
- 5נוסחת סכום חלופית: Sₙ = n(2a₁ + (n - 1)d)/2.
