הסדרה החשבונית - איבר, הפרש וסכום
בסדרה חשבונית ההפרש בין כל שני איברים סמוכים קבוע ושמו d. משני נתונים - האיבר הראשון a₁ וההפרש d - אפשר להגיע לכל איבר בעזרת aₙ = a₁ + (n − 1)d, ולסכום של n האיברים הראשונים בעזרת Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. בנו סדרה במעבדה, גררו את d, וצפו באיברים ובסכום הרץ נבנים איבר אחר איבר.
כמה זה 2 + 5 + 8 + … עד עשרה איברים? אפשר לחבר בסבלנות, אבל בסדרה חשבונית יש קיצור דרך יפהפה. ההפרש כאן קבוע - d = 3 - ולכן האיבר העשירי הוא a₁₀ = 2 + 9·3 = 29, והסכום הוא בסך הכול הממוצע של האיבר הראשון והאחרון כפול מספר האיברים: S₁₀ = 10(2 + 29)/2 = 155. שתי נוסחאות - אחת לאיבר, אחת לסכום - פותרות הכול.
האנטומיה של סדרה חשבונית
בסדרה אחת נפגשים כל המרכיבים: האיבר הראשון a₁, ההפרש הקבוע d שמוסיפים בכל צעד, האיבר הכללי aₙ = a₁ + (n − 1)d והסכום הרץ Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. הנה המפה על הדוגמה a₁ = 4, d = 3, שבה a₂₀ = 4 + 19·3 = 61 והסכום S₂₀ = 20(4 + 61)/2 = 650:
ששת אבני היסוד
שישה כלים שנותנים שליטה מלאה בסדרה החשבונית, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-4 יח״ל. עברו עליהם לפי הסדר - כל שלב מזין את הבא - ותוך כדי קריאה קבעו את a₁ ואת d במעבדה שלמעלה וצפו כיצד האיברים והסכום נבנים.
ההפרש הקבוע d
סדרה היא חשבונית אם ההפרש בין כל איבר לקודמו קבוע: d = aₙ − aₙ₋₁. ב-2, 5, 8, … ההפרש הוא d = 3 - מוסיפים 3 בכל צעד.
האיבר הכללי, וכלל הנסיגה
כדי להגיע לאיבר ה-n מוסיפים את d בדיוק n − 1 פעמים: aₙ = a₁ + (n − 1)d. ל-a₁ = 4, d = 3 מקבלים a₂₀ = 4 + 19·3 = 61.
שני ייצוגים לאותה סדרה. כלל לפי מקום נותן את האיבר ישירות מהמקום שלו: aₙ = a₁ + (n - 1)d, ולסדרה שבה a₁ = 4 ו-d = 3 מקבלים aₙ = 3n + 1. כלל נסיגה מגדיר כל איבר באמצעות הקודם לו: a₁ = 4 , aₙ₊₁ = aₙ + 3. שימו לב שכלל נסיגה חייב לכלול גם את האיבר הראשון, אחרת הסדרה אינה מוגדרת. המעבר בין שני הייצוגים לשני הכיוונים הוא חלק מהחומר.
סכום n האיברים, והקשר Sₙ - Sₙ₋₁
הסכום הוא הממוצע של האיבר הראשון והאחרון, כפול מספר האיברים: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. ל-a₁ = 4, d = 3 יוצא S₂₀ = 20(4 + 61)/2 = 650.
הקשר בין הסכום לאיבר: אם מכירים את נוסחת הסכום אפשר לחלץ ממנה את האיבר הכללי, כי Sₙ - Sₙ₋₁ = aₙ - ההפרש בין סכום n האיברים לסכום n - 1 האיברים הוא בדיוק האיבר ה-n. בסדרה שלנו S₅ = 50 ו-S₄ = 34, ואכן 50 - 34 = 16 = a₅.
למצוא d משני איברים
בין aₖ ל-aₘ יש m − k קפיצות: d = (aₘ − aₖ)/(m − k). אם a₃ = 10 ו-a₇ = 22 אז d = (22 − 10)/4 = 3.
ומשם - למצוא a₁
אחרי ש-d ידוע, חוזרים אחורה מאיבר ידוע: a₁ = aₖ − (k − 1)d. מ-a₃ = 10, d = 3 מקבלים a₁ = 10 − 2·3 = 4.
הוכחת סדרה, ממוצע חשבוני ותת-סדרות
מציבים aₙ = a₁ + (n − 1)d בנוסחת הסכום ומקבלים ביטוי ב-a₁ וב-d בלבד: Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d)/2. כך S₁₀ של 2, 5, 8, … הוא 10(2·2 + 9·3)/2 = 155.
איך מוכיחים שסדרה היא חשבונית: מחשבים את ההפרש aₙ₊₁ - aₙ באופן כללי ומראים שהוא קבוע ואינו תלוי ב-n. תכונה שקולה ושימושית: כל איבר הוא הממוצע החשבוני של שכניו, כלומר aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁2. בסדרה שלנו a₄ = (10 + 16) : 2 = 13 ✓.
תת-סדרות: אם בוחרים מתוך סדרה חשבונית רק חלק מהאיברים בקפיצות קבועות, מתקבלת שוב סדרה חשבונית. למשל האיברים במקומות הזוגיים a₂, a₄, a₆ נותנים 7, 13, 19 - סדרה חשבונית שהפרשה 2d = 6.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון 4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: מזהים a₁ ו-d, מציבים בנוסחת האיבר הכללי, ואז בנוסחת הסכום.
- מזהים את הנתונים: האיבר הראשון a₁ = 4 וההפרש d = 3.
- מוצאים את האיבר העשרים: a₂₀ = a₁ + (20 − 1)d = 4 + 19·3 = 4 + 57 = 61.
- מציבים בנוסחת הסכום: S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀)/2 = 20(4 + 61)/2 = 20·652.
- האיבר העשרים הוא a₂₀ = 61 והסכום הוא S₂₀ = 650.
- מספרים את הקפיצות: מ-a₃ ל-a₇ יש 7 − 3 = 4 קפיצות של d.
- מחלצים את ההפרש: d = (a₇ − a₃)/4 = (22 − 10)/4 = 124 = 3.
- חוזרים אל האיבר הראשון: a₁ = a₃ − 2d = 10 − 2·3 = 4.
- ההפרש הוא d = 3 והאיבר הראשון הוא a₁ = 4.
- מזהים a₁ ו-d: האיבר הראשון a₁ = 2 וההפרש d = 5 − 2 = 3.
- מוצאים את האיבר העשירי: a₁₀ = 2 + (10 − 1)·3 = 2 + 27 = 29.
- מציבים בנוסחת הסכום החלופית: S₁₀ = 10(2a₁ + 9d)/2 = 10(2·2 + 9·3)/2 = 10·312.
- סכום עשרת האיברים הראשונים הוא S₁₀ = 155.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (איבר בודד, הפרש, סכום ישיר), יישום (חילוץ d ו-a₁ משני איברים ובניית סכום), ורמת בגרות (בעיה רב-שלבית). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הסדרה".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הפרש קבוע: d = aₙ − aₙ₋₁ - מוסיפים אותו בכל צעד.
- 2איבר כללי: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
- 3סכום: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 - ממוצע הקצוות כפול מספר האיברים.
- 4מוצאים d משני איברים: d = (aₘ − aₖ)/(m − k).
- 5ואז a₁: חוזרים אחורה מאיבר ידוע: a₁ = aₖ − (k − 1)d.
- 7כלל נסיגה: a₁ = 4 , aₙ₊₁ = aₙ + d - ייצוג שקול לכלל לפי מקום.
- 8קשר סכום-איבר: Sₙ - Sₙ₋₁ = aₙ; ממוצע חשבוני: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) : 2.
